미분 방정식을 푸십시오. (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? 어떤 종류의 미분 방정식이 이것이며 언제 발생할 수 있는지 토론하십시오.

대답:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

설명:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y #

최고의 서면으로

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / 16y = 0 qquad 삼각형 #

이것은 선형 2 차 균등 미분 방정식임을 보여줍니다

그것은 특성 방정식을 가지고있다.

# r ^ 2 -8 r + 16 = 0 #

이는 다음과 같이 풀 수있다.

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

이 반복 된 루트이므로 일반 솔루션 형태입니다.

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

이것은 진동이 없으며 A와 B의 가치에 실제로 의존하는 기하 급수적 인 행동을 모델링합니다. 인구 또는 육식 동물 / 먹이의 상호 작용을 모델링하려는 시도일지도 모릅니다.하지만 매우 구체적인 것은 말할 수 없습니다.

그것은 불안정성을 보여 주며 그것에 대해 정말로 말할 수있는 모든 것입니다.

대답:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {λx} #

설명:

미분 방정식

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

선형 균질 일정 계수 방정식입니다.

이 방정식의 경우 일반적인 해법은 구조를 갖는다.

#y = e ^ {lambda} #

우리가 가진 것을 대체해라.

# e ^ {lambda} (λ ^ 2-8λ + 16) = 0 #

이리 # e ^ {lambda} ne 0 # 솔루션은 반드시 준수해야합니다.

# 람다 ^ 2-8λ + 16 = (λ-4) ^ 2 = 0 #

우리는 우리가 얻을 해결

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

뿌리가 반복 될 때, # d / (dλ) e ^ {λx} # 또한 해결책입니다. 의 경우 #엔# 반복되는 뿌리, 우리는 해결책으로 가지고있을 것이다:

#C_i (d ^ i) / (dλ ^ i) e ^ {λ ×} # …에 대한 # i = 1,2, cdots, n #

따라서 초기 조건의 수를 유지하기 위해 이들을 독립 솔루션으로 포함합니다.

이 경우 우리는

#y = C_1 e ^ {λx} + C_2d / (dλ) e ^ {λx} #

그 결과

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {λx} #

이러한 방정식은 선형 회로 이론 또는 선형 역학에서 발견되는 선형 일괄 매개 변수 시스템을 모델링 할 때 나타납니다. 이러한 방정식은 일반적으로 Laplace Transform 메서드와 같은 연산 대수 메서드를 사용하여 처리됩니다.