대각선이 각각 30이고 높이가 18 인 사다리꼴의 면적은 얼마입니까?

대답:

#S_ (사다리꼴) = 432 #

설명:

그림 1을 고려하자.

문제의 조건을 만족하는 사다리꼴 ABCD에서 (여기서 # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, AB는 CD와 평행하다.) 우리는 Alternate Interior Angles Theorem을 적용하여 # alpha = delta # 과 # 베타 = 감마 #.

세그먼트 AB에 수직 인 두 개의 선을 그려서 AF 및 BG 세그먼트를 만들면 #triangle_ (AFC) - = 삼각형 _ (BDG) # (왜냐하면 두 삼각형 모두 올바른 것이고 우리는 하나의 빗변이 다른 삼각형의 빗변과 같고 한 삼각형의 다리가 다른 삼각형의 다리와 같음을 알기 때문에) # alpha = beta # => # 감마 = 델타 #.

이후 # 감마 = 델타 # 우리는 그것을 볼 수있다. #triangle_ (ABD) - = 삼각형 _ (ABC) # 과 # AD = BC #그러므로 사다리꼴은 이등변이다.

우리는 또한 #triangle_ (ADP) - = 삼각형 _ (BCQ) # => # AP = BQ # (또는 # x = y # 그림 2).

그림 2를 고려하십시오.

그림 2의 사다리꼴은 그림 1의 사다리꼴과 모양이 다르지만 문제의 조건을 모두 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 나는 문제의 정보가 기초 1의 크기를 결정하는 것을 허용하지 않는다는 것을 보여주기 위해이 두 그림을 제시했다. (#엠#) 및 염기 2 (#엔#)를 얻을 수 있지만 사다리꼴 영역을 계산하는 데 더 많은 정보가 필요 없음을 알 수 있습니다.

에서 #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (x + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

이후 # n = m + x + y # 과 # x = y # => # n = m + 2 * x # 과 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # m + n = 48 #

2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 # (사다리꼴) = (base_1 + base_2) / 2 * 높이 = (m + n)

참고: 우리는 엠 과 엔 이 두 방정식을 공역 화:

에서 #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

에서 #triangle_ (ABD) AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cosδ => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos 델타 = 4 / 5 # 때문에 #sin 델타 = 18 / 30 = 3 / 5 #)

그러나이 두 방정식의 시스템을 해결하면, 우리는 엠 그리고 측면 광고 불확정하다.