이항 계열을 사용하여 sqrt (z ^ 2-1)를 어떻게 확장합니까?

대답:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

설명:

물리학 학생으로서 나는 거의 벗어날 수 없기 때문에 두 번 확인하고 싶습니다. # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # 작은 x를 위해 나는 녹슨 약간이다. 이항법은 이항 정리의 특별한 경우로서

(n), (k)) x ^ k # (1 + x)

와 (n-k + 1)) / (k!) # (n-1)

우리가 가진 것은 # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, 이것은 올바른 형식이 아닙니다. 이를 바로 잡기 위해 # i ^ 2 = -1 # 그래서 우리는:

(1-z ^ 2) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^

이제는 다음과 같은 올바른 형식으로되어 있습니다. #x = -z ^ 2 #

따라서 확장은 다음과 같습니다.

1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +이다… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #