부분 분수를 사용하여 int 1 / (x ^ 2 (2x-1))을 어떻게 통합합니까?

대답:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

설명:

우리는 #알파벳# 그렇게

1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) #

모든 #엑스#.

양쪽에 # x ^ 2 (2x-1) # 얻을

# 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

계수를 Equating하면 우리에게 주어진다.

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1)

그래서 우리는 # A = -2, B = -1, C = 4 #. 이것을 초기 방정식에 대입하면 다음과 같이됩니다.

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

이제 용어별로 용어를 통합하십시오.

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

얻을

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

대답:

정답은 # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

설명:

부분 분율로 분해를 수행하십시오.

1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / x + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)

분모는 동일하고 분자를 비교합니다

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

방해 # x = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

방해 # x = 1 / 2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

계수 # x ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = -C / 2 = -4 / 2 = -2 #

따라서, # 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2x-1) #

그래서, # int (1dx) / (xd (2x-1)) = - int (1dx) / x ^ 2-int (2dx) / x + int (4dx) /

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #