Sqrt (9-x ^ 2)의 적분은 무엇입니까?

이런 종류의 기능을 볼 때마다 나는 특별한 연습을해야한다는 것을 (많은 연습을 통해) 인식한다:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

이상한 대체품처럼 보일지 모르지만, 왜 우리가이 일을하는지 보게 될 것입니다.

#dx = 3cos (u) du #

적분의 모든 것을 대체하십시오:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

우리는 3을 필수로 가져올 수 있습니다.

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

당신은 9를 배제 할 수 있습니다:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

우리는 그 정체성을 알고 있습니다: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

우리가 해결하면 # cosx #, 우리는 얻는다:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

이것은 우리가 적분에서 볼 수있는 것과 정확히 같기 때문에 그것을 대체 할 수 있습니다:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

이 것을 기본적인 antiderivative로 알고 있을지 모르지만, 그렇지 않으면 다음과 같이 이해할 수 있습니다.

우리는 신분을 사용합니다: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9 / 2 int 1 + cos (2u) du #

# 9 / 2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9 / 2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (당신은 이것을 대체 할 수 있습니다)

# 9 / 2u + 9/4sin (2u) + C #

이제 우리가 할 일은 #유# 함수로. 우리가 어떻게 정의했는지 되돌아 봅시다.

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

얻으려면 #유# 이 중에서, 당신은 역함수를 취할 필요가 있습니다. #죄# 양쪽에, 이것은 # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

이제 우리 솔루션에 삽입해야합니다.

# 9 / 2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

이것이 최종 해결책입니다.