(0, 0, 8)과 (9, 2, 0) 사이의 거리는 얼마입니까?

대답:

거리는 #sqrt (149) #

설명:

두 점 사이의 거리

# (x_1, y_1, z_1) #

과

# (x_2, y_2, z_2) #

…에서 # RR ^ 3 # (3 차원)은 다음에 의해 주어진다.

# "거리"= sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

이 문제를 당면의 문제에 적용하면 #(0, 0, 8)# 과 #(9, 2, 0)# 같이

# "거리"= sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

다음은 거리 수식의 출처에 대한 설명이며 위의 해결 방법을 이해하는 데 필요하지 않습니다.

위에 주어진 거리 수식은 거리 수식과 유사합니다. # RR ^ 2 # (2 차원):

# "거리"= sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

이것은 Pythagorean 정리의 간단한 적용에서 오는 것으로서, 다리와 평행 한 두 점 사이에 직각 삼각형을 그려서 #엑스# 과 #와이# 축.

그것은 밝혀졌다. # RR ^ 3 # 버전은 유사한 방식으로 파생 될 수 있습니다. (최대) 3 개의 선을 사용하여 두 점을 연결하면 #엑스#, #와이#, 및 #지# 우리는 점이 반대 모서리 인 상자를 얻습니다. 그래서 상자의 대각선을 가로 질러 거리를 계산하는 방법을 알아 봅시다.

우리는 빨간 선의 길이를 알아 내려고합니다. #color (빨간색) (광고) #

이것은 삼각형의 빗변이므로 # ABD #, 피타고라스의 정리로부터:

# 2 = (AB) ^ 2 + (색상 (파랑) (BC)) ^ 2 #

(AB) ^ 2 + (색상 (파랑) (BC)) ^ 2) "(i)"#

불행히도, 우리는 길이가 없습니다. #color (파란색) (BD) # 주어진 것으로. 그것을 얻으려면 피타고라스의 정리를 삼각형에 다시 적용해야합니다. # BCD #.

# (색 (파랑) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)"#

우리는 단지의 사각형이 필요하기 때문에 #color (파란색) (BD) #이제 대체 할 수 있습니다. # ("ii") # 으로 #("나는")#:

#color (red) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

마지막으로, 우리가 #에이# …에서 # (x_1, y_1, z_1) # 과 #디# …에서 # (x_2, y_2, z_2) #, 길이가 있습니다.

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

이것들을 위의 내용으로 대체하면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다.

우리가 3 차원에서 기하학적 인 증명을 쉽게 할 수는 있지만, 수학자들은 # RR ^ n # (#엔# 치수). 사이의 거리

# (x_1, x_2, …, x_n) # 과 # (y_1, y_2, …, y_n) # 다음과 같이 정의됩니다.

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

이 패턴은 # RR ^ 2 # 과 # RR ^ 3 #.