F (t) = t sqrt (25-t ^ 2) on [-1, 5] 주어진 간격에서 f의 절대 최대 및 절대 최소값을 어떻게 구합니까?

대답:

요구 사항 극값은 # -25 / 2 및 25 / 2 #.

설명:

대체를 사용합니다. # t = 5sinx, t in -1,5 #.

이 대체는 허용 될 수 있음을 주목하십시오. 왜냐하면, -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, 의 범위로서 #죄# 장난. ~이다. #-1,1#.

지금, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25 / 2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

이후, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25 / 2 <= 25 / 2sin2x <= 25 / 2 #

#rArr -25 / 2 <= f (t) <= 25 / 2 #

따라서, reqd. 말단은 # -25 / 2 및 25 / 2 #.

대답:

파생 부호에서 함수의 단조 로움을 찾아 가장 큰, 가장 작은 로컬 최대 / 최소를 결정하십시오.

절대 최대 값:

#f (3.536) = 12.5 #

절대 최소값:

#f (-1) = - 4.899 #

설명:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

함수의 파생:

(25-t ^ 2)) (25-t ^ 2) + # t '

(25-t ^ 2) + (t - 2) + (t - 2) + t * 1 / (2sqrt

(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

(25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) - ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2)

(25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12.5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

(sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #f '(t) = 2

(sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #f '(t) = 2

• 분자에는 두 가지 솔루션이 있습니다.

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  따라서 분자는 다음과 같습니다.

  네거티브 #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  긍정적 인 #t in (-3.536,3.536) #

• 분모는 항상 양의 값을가집니다. # RR #왜냐하면 그것은 제곱근이기 때문입니다.

  마지막으로, 주어진 범위는 다음과 같습니다. #-1,5#

따라서 함수의 파생어는 다음과 같습니다.

- 네거티브 #t in -1,3.536) #

- 긍정적 인 #t in (3.536,5) #

이것은 그래프가 처음부터 위로 올라가는 것을 의미합니다. #f (-1) # 에 #f (3.536) # 다음으로 내려 간다. #f (5) #. 이것은 만든다 #f (3.536) # 절대 최대 값과 최대 값 #f (-1) # 과 #f (5) # 절대 최소값입니다.

절대 최대 값 #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

절대 최대 값:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

따라서, #f (-1) = - 4.899 # 절대 최소값입니다.

아래 그래프에서 이것이 사실임을 알 수 있습니다. 왼쪽의 영역을 무시하십시오. #-1# 그것이 도메인에서 벗어 났기 때문에:

그래프 {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}