무엇이 반지름의 가장 큰 원통, 반지름 r과 높이 h의 반지름에 맞을 수 있습니까?

대답:

우리가 선택하면 실린더의 최대 부피가 발견됩니다.

# r = sqrt (2/3) R #, 및 #h = (2R) / sqrt (3) #

이 선택은 최대 실린더 부피를 다음과 같이 유도합니다:

# V = (4πR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

설명:

``

원통의 중심을 통과하는 단면을 상상해 보자. # h #, 볼륨 #V#, 그렇다면 우리는 가지고있다.

# h # 과 #아르 자형# 다양 할 수 있고 #아르 자형# 상수입니다. 실린더의 부피는 표준 공식에 의해 주어진다:

# V = pir ^ 2h #

구의 반경, #아르 자형# 변의 삼각형의 빗변이다. #아르 자형# 과 # 1 / 2h #그래서 Pythagoras를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

여기서, R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

이것을 우리의 볼륨 방정식으로 대체하여 다음을 얻을 수 있습니다.

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = piR ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

우리는 지금 양을 가지고 있습니다, #V# 단일 변수의 함수로 # h #, 우리는 wrt를 극대화하려고 노력한다. # h # 그래서 차별화 된 wrt # h # 제공:

# (dV) / (dh) = piR ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

최소 또는 최대치에서, # (dV) / (dh) = 0 # 그래서:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) ""# (분명히 우리는 te + ve root를 원한다)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

이 값으로 # h # 우리는 얻는다:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

우리는이 값이 (최대가 아닌) 최대 볼륨으로 이어지는 지 확인해야합니다. 우리는 2 차 미분을보고이를 수행합니다.

# (dV) / (dh) = piR ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

그리고 #h> 0 # 우리는 # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # 그리고 확인 된 중요한 점이 추구하는 최대치로 이어진다.

그러므로 우리가 선택한 경우 실린더의 최대 부피가 발견됩니다.

# r = sqrt (2/3) R #, 및 #h = (2R) / sqrt (3) #

이 선택으로 최대 볼륨을 얻습니다.

(2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2πR3) / sqrt (3) -1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3)))

#:. V = (2πR ^ 3) / sqrt (3) - (2πR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4πR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

그리고 Sphere의 볼륨은 다음과 같이 주어집니다.

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

이것은 미적분이 발견되기 전에 그리스의 수학자들이 연구 한 매우 유명한 문제입니다. 흥미로운 특성은 구의 체적에 대한 실린더 체적의 비율이다:

# V / V_s = ((4πR3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

즉, 볼륨의 비율은 #아르 자형#, #아르 자형# 또는 # h # 그것은 아주 놀라운 결과입니다!