어떻게 합리적인 표현 (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)의 부분 분율 분해를 작성합니까?

대답:

1 / (2 (x + 1)) # (3x) / (x-3-2x-2 + x) = 2 /

설명:

주어진 표현식을 부분 분수로 작성하려면 분모를 인수 분해하는 것에 대해 생각해보십시오.

분모를 분해하자.

#color (파란색) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = 색상 (파란색) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = 색상 (파란색) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

다항식의 아이덴티티 적용:

#color (오렌지색) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

우리는:

#color (파란색) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = 색상 (파란색) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = 색상 (파란색) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

합리적인 표현을 발견함으로써 # A, B 및 C #

#color (갈색) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = 색상 (녹색) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x +2)) #

#color (갈색) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)

(x-1)) / (x-1)) / (x-1) + (B- x-2) (x-1)) / (x + 1)

(x ^ 2 + x-2x) / (x-1) + (C (x ^ 2-x-2x) +2)) / (x + 1) #

= (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C / (x + 1) #

(x-1) (x + 1) # = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C)

(x-1) (x + 1) (x + 1) (x + 2) 1))#

(x-1) (x + 1) (x + 1) (x + 2) 1)) = 색상 (녹색) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

그런 다음, #rArrcolor (갈색) (A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = 색상 (녹색) (3x) #

3 개의 미지수가있는 3 개의 방정식 시스템이 있습니다. # A, B 및 C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

시스템 해결을 시작합니다.

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (적색) (B = -3-3C) #

대체 #비# eq1에서 우리는:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (적색) (A = 3 + 2C) #

대체 #B와 C #eq3에서 우리는:

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

# rArr- (색 (적색) (3 + 2C)) - 2 (색 (적색) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (빨강) (C = -1 / 2) #

#color (red) (B = -3-3C) = - 3-3color (red) (- 1/2) = - 3 + 3 / 2 #

#color (빨강) (B = -3 / 2 #

#color (빨강) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (빨강) (A = 2) #

우리가 값을 대체하자:

#color (녹색) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = 색상 (갈색) (색상 (빨강) 2 / (x-2) + / 2)) / (x-1) + 컬러 (적색) ((- 1/2)) / (x + 1)

따라서, 1 / (2 (x + 1)) # (3x) / (x-3-2x-2 + x) = 2 /