Y = x ^ 2 - 1 및 y = 0 곡선으로 둘러 쌓인 영역의 부피를 x = 5 선 주위로 회전시키는 방법은 무엇입니까?

대답:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1 / 3) #

설명:

이 볼륨을 계산하기 위해 우리는 그것을 (무한히 슬림 한) 조각으로 잘라낼 수 있습니다.

우리는이 지역을 상상하며이를 돕기 위해 곡선이 곡선 아래에있는 부분을 그래프로 묶었습니다. 우리는 # y = x ^ 2-1 # 선을 넘다 # x = 5 # 어디에 # y = 24 # 선을 넘어선다고 # y = 0 # 어디에 # x = 1 # 그래프 {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

이 영역을 높이가있는 수평 조각으로자를 때 # dy # (매우 작은 높이). 이 슬라이스의 길이는 y 좌표에 따라 크게 달라집니다. 이 길이를 계산하려면 점으로부터의 거리를 알아야합니다. # (y, x) # 선상에서 # y = x ^ 2-1 # 점 (5, y)까지. 물론 이것은 # 5-x #, 그러나 우리는 그것이 어떻게에 달려 있는지 알고 싶다. #와이#. 이후 # y = x ^ 2-1 #, 우린 알아 # x ^ 2 = y + 1 #, 우리는 #x> 0 # 우리가 관심있는 지역에 대해서, # x = sqrt (y + 1) #, 따라서이 거리는 #와이#, 우리는 다음과 같이 나타낼 것입니다. #r (y) # 에 의해 주어진다 #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

이제이 지역을 회전시킵니다. # x = 5 #, 이것은 모든 슬라이스가 높이가있는 원통이된다는 것을 의미합니다. # dy # 반경 #r (y) #따라서 볼륨 #pir (y) ^ 2dy #. 이제 우리가해야 할 일은 통합을 사용하여이 무한히 작은 볼륨을 추가하는 것뿐입니다. 우리는 #와이# 간다 #0# 에 #24#.

(25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (2-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (26 + 24 + 20) (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20 / 3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2 / 2 / 3 (25) ^ (3/2) + 20 / 3 + 24 ^ 2 / 2) = pi (85 + 1 / 3) #.