89의 제곱근은 무엇입니까?

대답:

의 제곱근 #89# 제곱 일 때의 숫자입니다. #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

설명:

이후 #89# 소수입니다, #sqrt (89) # 단순화 될 수 없다.

Newton Raphson 방법을 사용하여 근사값을 구할 수 있습니다.

나는 그것을 다음과 같이 약간 재구성하고 싶다.

방해 #n = 89 # 당신이 원하는 제곱근의 수.

고르다 # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # 그래서 # p_0 / q_0 # 합리적인 합리적인 근사치입니다. 나는이 특별한 가치들을 선택했다. #89# 중간 정도에있다. #9^2 = 81# 과 #10^2 = 100#.

수식을 사용하여 반복:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

# q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

이것은 더 합리적인 근사치를 줄 것입니다.

그래서:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

우리가 여기서 멈 추면 근사값을 얻을 수 있습니다.

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~ ~ 9.434 #

한 걸음 더 나아가 자.

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

그래서 우리는 근사값을 얻습니다.

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

이 Newton Raphson 방법은 빠르게 수렴합니다.

#color (흰색) () #

실제로, 아주 간단한 근사값 #sqrt (89) # ~이다. #500/53#이후 #500^2 = 250000# 과 #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

이것에 하나의 반복 단계를 적용하면 더 좋은 근사값을 얻을 수 있습니다.

#sqrt (89) ~~ 500001 / 53000 ~~ 9.4339811321 #

#color (흰색) () #

각주

양의 정수의 모든 제곱근은 반복적 인 분수 확장을 반복하며 합리적인 근사값을 제공하는 데 사용할 수도 있습니다.

그러나, #sqrt (89) # 계속되는 부분 확장은 다소 지저분하므로 작업하기에 좋지 않습니다.

#sqrt (89) = 9; 3 + 1 / (2 + 1 / (18+ 1 / (2 + 1 / (3+ + …))))))) #)

근사치 #500/53# 위 #9; 2, 3, 3, 2#