반경 R의 주어진 동그라미 안에서 반경 r의 동등한 3 개의 원을 다른 2 개의 원과 주어진 원에 닿게 한 다음 그림과 같이 그려진 영역의 면적은?

음영 처리 된 영역의 영역에 대한 식을 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

#A_ "음영 처리"= piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "중앙"#

어디에 #A_ "center"# 세 개의 작은 원들 사이의 작은 부분의 면적입니다.

이 영역을 찾기 위해 세 개의 작은 흰색 원의 중심을 연결하여 삼각형을 그릴 수 있습니다. 각 원의 반지름은 #아르 자형#, 삼각형의 각 변의 길이는 # 2r # 삼각형은 등변이므로 각도는 # 60 ^ o # 마다.

따라서 우리는 중앙 영역의 각도가이 삼각형의 영역에서 원의 세 부분을 뺀 부분이라고 말할 수 있습니다. 삼각형의 높이는 간단합니다. #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, 따라서 삼각형의 면적은 # 1 / 2 * base * height = 1 / 2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

이 삼각형 내의 세 원 세그먼트의 면적은 본질적으로 원 중 하나의 절반과 같은 면적입니다 (각도가 # 60 ^ o # 각각 또는 #1/6# 따라서 우리는 이들 분야의 총 면적을 추론 할 수있다. # 1 / 2 pir ^ 2 #.

마지막으로, 우리는 중심 지역의 영역을 #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

따라서 원래의 표현으로 돌아가서 음영 처리 된 영역의 영역은 다음과 같습니다.

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

대답:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

설명:

하얀 동그라미에 반지름을 줘 보자. # r = 1 #. 센터는 정삼각형을 형성한다. #2#. 각 중앙값 / 고도는 #sqrt {3} # 그래서 정점에서 중심까지의 거리는 # 2 / 3 sqrt {3} #.

중심은 큰 원의 중심이므로 큰 원의 중심과 작은 원의 중심 사이의 거리입니다. 우리는 약간의 반지름을 더한다. # r = 1 # 얻을

#R = 1 + 2 / 3 sqrt {3} #

우리가 찾는 영역은 큰 원의 면적보다 작은 정삼각형이고 나머지는 #5/6# 각 작은 원의.

# A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2 / 3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

우리는 # r ^ 2 # 일반적으로