Y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))에 대한 점근선을 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

수직선

# x = 1 #

# x = 3 #

수평

# x = 1 # (모두 # + - oo #)

비스듬한

존재하지 마라.

설명:

방해 #y = f (x) #

• 수직 점근선

무한대를 제외하고는 도메인의 한계에 가까워 질 때 함수의 한계를 찾으십시오. 결과가 무한대이면 그 이상 #엑스# 선은 점근선이다. 도메인은 다음과 같습니다.

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

그래서 4 가능한 수직 점근선 위치:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x -> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

점근선 # x-> 1 ^ - #

(x-1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (x-1) 0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4 / 0 = + 0o # 수직 점근선 # x = 1 #

참고: # x-1 # 이후 #엑스# 1보다 약간 작 으면 결과가 0보다 약간 낮은 값이되므로 부호가 음수가됩니다. 따라서 메모 #0^-# 나중에 음수로 변환됩니다.

점근선 확인 # x-> 1 ^ + #

(x-1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (x-1) 0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4 / 0 = 확인 됨

점근선 # x-> 3 ^ - #

(x-1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (x-1) 2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9 / 0 = -oo # 수직 점근선 # x = 3 #

점근선 확인 # x-> 3 ^ + #

(x-1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (x-1) 2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9 / 0 = + oo # 확인 됨

• 수평 점근선

함수의 경향에 따라 두 제한을 찾아라. # + - oo #

무한대의 마이너스 #x -> - oo #

(x-1) (x-1) (x-1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) =

(x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) =

(1-4 / x-3 / x ^ 2) (취소 (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) 2) = (1 - 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# 에 대한 가로 점근선 # y = 1 #

플러스 무한대 #x -> + oo #

(x-1) (x-1) (x-1) = 2 * (x-1)

(x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1) / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) =

(1 / 2 + x / 1 / x ^ 2) / (취소 (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2) 2) = (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# 에 대한 가로 점근선 # y = 1 #

참고:이 함수는 두 가지 모두에 대해 공통 수평을가집니다. # -oo # 과 # + oo #. 항상 둘 다 확인해야합니다.

• 비스듬한 점근선

먼저 두 가지 한계를 찾아야합니다.

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

각각에 대해이 한계가 실수라면 점근선이 존재하고 한계는 그것의 기울기입니다. 그만큼 #와이# 각각의 도청은 한계입니다:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

그러나 문제를 해결하기 위해 일부 기능 "지식"을 사용하여이를 방지 할 수 있습니다. 우리가 알고 있기 때문에 #f (x) # 둘 다 수평 적으로 점근하다. # + - oo # 비스듬히하는 유일한 방법은 #x -> + - oo #. 하나, #f (x) # ~이다. #1-1# 함수는 두 가지가 될 수 없다. #와이# 하나의 값 #엑스#따라서 두 번째 줄은 불가능하기 때문에 경사 점근선을 갖는 것은 불가능합니다.