N> 1에 대해 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1)을 표시 하시겠습니까?

대답:

이하

설명:

불평등이 참임을 나타내려면 수학적 유도를 사용합니다.

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # …에 대한 #n> 1 #

1 단계: # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

이후 # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, 그 다음에 #LHS> RHS #. 따라서, # n = 2 #

2 단계: # n = k # 여기서 k는 정수이고 #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

3 단계: 언제 # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

즉 (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # 가정에 의한 (1)

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

이후 #k> 1 #, 그 다음에 # -1 / sqrt (k + 1) <0 # 이후 # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, 그 다음에 # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # 그래서 # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

4 단계: 수학 유도의 증명으로,이 불평등은 모든 정수 #엔# ~보다 큰 #1#

명시된 불평등은 거짓입니다.

예: #n = 3 #:

# underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (approx 2.8) #underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (약 2.3) 취소

모순.