삼각형 A는 9의 면적과 길이 6과 9의 두 변을 가지고 있습니다. 삼각형 B는 삼각형 A와 유사하며 길이가 12입니다. 삼각형 B의 가능한 최대 및 최소 영역은 무엇입니까?

대답:

민 # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

맥스 # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} approx 85.39448839 … #

설명:

주어진:

# Area _ { triangleA} = 9 #

측면 길이 # triangleA # 아르 # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

측면 길이 # triangleB # 아르 # U, V, W #

#U = 12 #

# 삼각형 A text {비슷한} 삼각형 B #

먼저 해결할 #지#:

헤론의 공식을 사용하십시오. # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # 어디에 # S = frac {A + B + C} {2} #, 지역 9에서 sub, 그리고 sidelengths 6과 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z-3} {2} 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

방해 # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

2 차 방정식을 사용한다.

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # 부정적인 해를 다음과 같이 거부하십시오. # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13}

그러므로 # Z approx 3.895718613 # 과 # 14.79267983 # 각기

# 왜냐하면 삼각형 A text {유사} 삼각형 B, 영역 _ {삼각형 B} = k ^ 2 * 영역 _ { 삼각형 A} # 어디에 #케이# 크기 조정 요소입니다.

# k = 12 / s # 오름차순으로 정렬 된 위치: #s {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6,9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

또는 10 진수 형식: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

그 가치가 클수록 #에스#, Area가 작을수록 값이 작습니다. #에스#, 면적이 클수록,

따라서, 지역 선택을 최소화하기 위해 # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

지역 선택을 극대화하기 위해 # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

따라서, 최소 면적 # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

및 최대 면적 # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} approx 85.39448839 … #