Trig 대체를 사용하여 int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2를 어떻게 통합합니까?

대답:

# 1 dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

설명:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #

용도 # x = tan (a) #

# dx = sec ^ 2 (a) da #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / (1 + tan ^ 2a) ^ 2 #

ID 사용 # 1 + tan ^ 2 (a) = sec ^ 2 (a) #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / sec ^ 4 (a) #

# = int (da) / sec ^ 2 (a) #

# = int cos ^ 2 (a) da #

# = int ((1 + cos (2a)) / 2) da #

# = (1/2) (int (da) + int cos (2a) da) #

# = (1/2) (a + sin (2a) / 2) #

# = (1/2) (a + (2sin (a) cos (a)) / 2) #

# = (1/2) (a + sin (a).cos (a)) #

우리는 그것을 알고있다. # a = tan ^ -1 (x) #

#sin (a) = x / (sqrt (1 + x ^ 2) #)

#cos (a) = x / (sqrt (1 + x ^ 2 #

(x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + sin (sin ^ -1) (x / (sqrt (1 + x ^ 2))) cos cos ^ -1 (1 / (sqrt (1 + x ^ 2))))) #

1 / sqrt (1 + x ^ 2)) # = (1/2) (tan -1 (x) + (x / (sqrt

# = (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

대답:

# int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #

설명:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # 대체 수행

#x = tan (y) # 결과적으로

#dx = dy / (cos (y) ^ 2) #

우리는

# int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 equiv int dy / (cos (y) ^ 2 (1 / cos (y) ^ 4)) = int cos

그러나

cos (y) ^ 2-sin (y) ^ 2 = 2 cos (y) ^ 2-1 #

그때

#int cos (y) ^ 2 dy = 1/2 (y + sin (y) cos (y)) #

마지막으로, #y = arctan (x) # 우리는

# int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #