X = y ^ 2 및 xy = k 곡선이 8k ^ 2 = 1이면 직각으로 절단된다는 것을 증명할 수 있습니까?

대답:

#-1#

설명:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1 / 8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

두 곡선은

#x = y ^ 2 #

과

#x = sqrt (1/8) / y 또는 x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

곡선 #x = y ^ 2 #, 관련 파생 상품 #와이# ~이다. # 2y #.

곡선 #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, 관련 파생 상품 #와이# ~이다. # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

두 곡선이 만나는 점은 # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

이후 #x = y ^ 2 #, #x = 1 / 2 #

곡선이 만나는 지점은 다음과 같습니다. # (1/2, sqrt (1/2)) #

언제 #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

곡선에 대한 탄젠트의 기울기 #x = y ^ 2 # ~이다. # 2sqrt (1/2) 또는 2 / (sqrt2) #.

언제 #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

곡선에 대한 탄젠트의 기울기 #xy = sqrt (1/8) # ~이다. # -2sqrt (1/8) 또는 -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

우리는 #케이# 곡선 # x = y ^ 2 # 과 # xy = k # "직각으로 자른다". 수학적으로 이는 곡선이 직각이어야 함을 의미하며, 모든 점에서 곡선의 접선이 어떤 주어진 점은 수직이다.

다양한 값의 곡선을 조사하면 #케이# 우리는 얻는다:

접선이 수직 인 단일 점을 찾고 있으므로 일반적으로 곡선은 모든 점에서 직교하지 않습니다.

먼저 단일 동등 어구, #피#, 교차점의, 동시 솔루션입니다:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Eq A를 B로 대입하면 다음과 같이됩니다.

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = 루트 (3) (k) #

그러면 교차 좌표를 설정합니다.

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

우리는 또한이 좌표에서 접선의 그라디언트가 필요합니다. 첫 번째 곡선의 경우:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

그래서 접선의 그라데이션, # m_1 #에서 첫 번째 곡선까지 #피#:

1 / 2k ^ (- 1/3) # (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 /

마찬가지로, 두 번째 곡선의 경우:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

그래서 접선의 그라데이션, # m_2 #,에서 두 번째 곡선으로 #피#:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

이 두 접선이 직각이면 다음을 요구합니다.

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (-1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (-2/3) = 2 #

#:. (k ^ (-2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

주어진 결과로 이끄는:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

그리고이 값으로 #케이#