S를 단위 면적의 제곱이라고합시다. A, b, c 및 d가 사변형의 변의 길이를 나타내는 경우, 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2라는 것을 증명하면 <= 4입니까?

방해 # ABCD # 단위 면적의 제곱이어야한다.

그래서 # AB = BC = CD = DA = 1 # 단위.

방해 # PQRS # 사각형의 각면에 하나의 정점이있는 사변형이어야합니다. 여기에 # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Pythagoras thorem을 적용하면 쓸 수 있습니다.

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

(1-y) ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# 2 + 2 ((x-1 / 2) ^ 2 + (y-1 / 2) ^ 2 + (z-1 / 2) ^ 2 +

이제 우리가 가진 문제로

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1 / 2) ^ 2 <= 1 / 4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1 / 2) ^ 2 <= 1 / 4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1 / 2) ^ 2 <= 1 / 4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1 / 2) ^ 2 <= 1 / 4 #

금후

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #