F (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)의 극한값과 안장 점은 무엇입니까?

대답:

#(0,0)# 안장이있다

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # 과 # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # 국부적 인 최대치이다.

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # 과 # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # 국소 최소치

# (0, pm 1 / sqrt 2) # 과 # (pm 1 / sqrt 2,0) # 굴절의 포인트입니다.

설명:

일반적인 기능 # F (x, y) # 정지 지점과 # (x_0, y_0) # 테일러 시리즈 확장

(F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} η ^ 2 + 2F_ {xy} xi η) + (x_0 + y_0 + η) = F (x_0, y_0 + ldots #

함수의 경우

#f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

우리는

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} #

# qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

(del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2}

# qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} #

다음 파생 상품에서 첫 번째 파생 상품이 모두 사라지는 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

이 정지 점들의 본질을 검사하기 위해서 우리는 거기에서 두 번째 파생물의 행동을 관찰 할 필요가있다.

지금

2 ^ y ^ 2) + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = xy (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

유사하게

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

과

2 ^ y ^ 2) + (1 ^ 2 ^ 2) ^ (2 ^ 2 ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} #

# qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

그래서 #(0,0)# 우리는 # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # 과 # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - 따라서

#f (0 + xi, 0 + η) = f (0,0) + xi η = xi η #

네가 접근하면 #(0,0)# 줄을 따라 # x = y #, 이것이된다.

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

그렇게 #(0,0)# 이 방향에서 접근하면 분명히 최소입니다. 다른 한편으로는, 당신이 선을 따라 접근하는 경우에 # x = -y # 우리는

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

그렇게 #(0,0)# 이 방향을 따른 최대 값이며, 그러므로 #(0,0)# ~이다. 안장 포인트.

에 대한 # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # 그것은 쉽게 볼 수있다.

(del ^ 2 f) / (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # 과 # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

의미하는 것은

(1 / sqrt2 + ηi, 1 / sqrt2 + η) = f (1 / sqrt2 / sqrt2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + η ^ 2)} #

그래서, 함수는 당신이 멀리 떠나는 방식으로 감소합니다. # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # 그리고 이것은 지역 최대. 같은 것을 쉽게 볼 수 있습니다. # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (이 기능은 동일하게 유지되므로 분명해야합니다. # (x, y) ~ (-x, -y) #!

다시, 양쪽 모두를 위해 # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # 과 # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # 우리는

(del ^ 2 f) / (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # 과 # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

그래서,이 두 지점 모두 로컬 미니 마입니다.

4 점 # (0, pm 1 / sqrt2) # 과 # (pm 1 / sqrt2, 0) # 모든 2 차 도함수가이 지점에서 사라지기 때문에 더 문제가된다. 이제 고차 파생 상품을 살펴보아야합니다. 다행히도, 우리는 이것을 위해 아주 열심히 일할 필요가 없습니다. 바로 다음 파생 상품 수확량

# (del ^ 3f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

둘 다 0이 아닌 # (0, pm 1 / sqrt2) # 과 # (pm 1 / sqrt2, 0) #. 자, 이것은 예를 들어,

(0,1 / sqrt2) = f (0,1 / sqrt2) +1/3 ((del_3f) / (del_x_3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

이 수치는 # f (0,1 / sqrt 2) # 한 방향으로, 다른 방향으로는 그 방향으로 감소한다. 그러므로 # (0,1 / sqrt2) # ** 변곡점이다. 다른 세 가지 점에 대해서도 동일한 논쟁이 가능합니다.