어떻게 이것을 통합합니까? dx (x²-x + 1)이 부분에 붙어 있습니다 (업로드 된 이미지)

대답:

(2x-1) / sqrt3) + c # (2sqrt3) / 3tan ^ (- 1)

설명:

계속하는 중 …

방해 # 3 / 4 u ^ 2 = (x-1 / 2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1 / 2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

기억에 헌신해야 할 antiderivative 사용하기 …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

(2x-1) / sqrt3) + c # (2sqrt3) / 3tan ^ (- 1)

이것은 까다로운 약간의 통합이며, 솔루션은 처음에 분명하게 나타나지 않을 것입니다. 이것이 분수이기 때문에 우리는 부분 분수 기법을 사용하는 것을 고려해 볼 수도 있지만 빠른 분석은 이것이 불가능하다는 것을 보여줍니다. # x ^ 2-x + 1 # 배제 할 수 없다.

우리는 이것을 우리가 실제로 통합 할 수있는 형태로 통합하려고 노력할 것입니다. 사이의 유사성을 주목하라. # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # 과 # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; 우리는 후자의 적분이 # arctanx + C #. 그러므로 우리는 # x ^ 2-x + 1 # ~의 형태의 #k (x-a) ^ 2 + 1 #, 그리고 나서 # arctanx # 규칙.

광장을 완료해야합니다. # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1 / 4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1 / 2) ^ 2 + 3 / 4 #

# = (x-1 / 2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1 / 2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1 / 2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(매우 지저분한, 나는 알고있다)

이제 우리가 원하는 형식으로 만들었으니 다음과 같이 진행할 수 있습니다.

(x-1 / 2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1 (x2 + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1 / 2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #