Dx / (cos (x) - 1)의 antiderivative를 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

곱셈을 활용하고, 삼각 함수를 적용하고, 결과를 얻기 위해 마침을하십시오. # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

설명:

이 유형의 대부분의 문제와 마찬가지로 공액 증식 기법을 사용하여 문제를 해결합니다. 플러스 / 마이너스 무언가로 나눈 값이있을 때마다 (예: # 1 / (cosx-1) #), 곱셈을 특히 삼각 함수와 함께 사용하는 것이 항상 도움이됩니다.

우리는 # 1 / (cosx-1) # 의 결합체 # cosx-1 #, 이는 # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

왜 우리가이 일을하는지 궁금해 할 것입니다. 그래서 우리는 제곱의 속성 차이를 적용 할 수 있습니다. # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #분모에, 조금 단순화하기 위해. 문제로 돌아 가기:

(cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) # 1 / (cosx-

# (underbrace (cosx) - underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

# 컬러 (흰색) (III) 컬러 (흰색) (XXX) b 컬러 (흰색) (XXX) 컬러 (흰색) (XXX)

이것이 본질적으로 어떻게되는지 주목하십시오. # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

자, 어때? # cos ^ 2x-1 #? 글쎄, 우리는 알고있다. # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. 다음과 같이 곱 해 봅시다. #-1# 우리가 얻는 것을 보아라.

(sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

그것은 # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, 그래서 바꾸자. # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (-sin ^ 2x #

이것은 # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, 어떤 trig를 사용하여, 아래로 종기 # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

이 시점에서, 우리는 # int1 / (cosx-1) dx # 에 # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. 합계 규칙을 사용하면 다음과 같이됩니다.

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

이 중 첫 번째는 # cscx # (왜냐하면 # cscx # ~이다. # -cotxcscx #)이고 두 번째는 # cotx # (왜냐하면 # cotx # ~이다. # -csc ^ 2x #). 통합 상수에 추가 #기음# 당신은 당신의 해결책을 가지고 있습니다:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #