(e ^ x) / (1 + e ^ (2x))의 antiderivative를 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

#arctan (e ^ x) + C #

설명:

# ""e ^ x "dx를"d (e ^ x) "라고 쓰면,"#

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "대체 y ="e ^ x "를 사용하면"#

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "는"#

#arctan (y) + C #

# "지금 대체"y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

대답:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d"x = arctane ^ x + "c"#

설명:

우리는 x1 = x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x

이제하자. # u = e ^ x # 그래서 양면에서 차분을 취하면 # du = e ^ xdx #. 이제 우리는이 두 방정식을 모두 적분으로 대체하여

# int1 / (1 + u ^ 2) "d"u #

이것은 다음을 평가하는 표준 적분입니다. # arctanu #. 다시에 대한 대체 #엑스# 우리는 최종 답을 얻습니다:

#arctan e ^ x + "c"#

대답:

(x ^ 1) + dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

설명:

먼저, # u = 1 + e ^ (2x) #. 관련하여 통합하려면 #유#, 우리는 파생 상품으로 나눕니다. #유#, 이는 # 2e ^ (2x) #:

(2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * dx = 1 / x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

관련하여 통합하려면 #유#, 우리는 #유#, 그래서 우리는 무엇을 해결할 필요가있다. # e ^ x # 에 관한 것입니다. #유#:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

이제 이것을 다시 통합하여 다음과 같이 통합 할 수 있습니다.

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

다음으로 우리는 # z = sqrt (u-1) #. 파생 상품은 다음과 같습니다.

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

그래서 우리는 그것으로 나누어서 #지# (분할은 역수를 곱하는 것과 같습니다).

(u-1) * ds = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz =

# = 2 / 2int 1 / u dz #

이제 우리는 다시 잘못된 변수를 가지므로 무엇을 해결할 필요가 있습니다. #유# 의 측면에서 #지#:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

이것은 다음을 제공합니다:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

이것은 일반적인 파생물입니다. # tan ^ -1 (z) #, 그래서 우리는 얻는다.

# 1 (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

모든 대체를 취소하면 다음과 같이 표시됩니다.

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = # tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #