대답:
거리의 정의는 관성 프레임의 변화에 따라 변하지 않으므로 물리적 의미가 있습니다.
설명:
Minkowski 공간은 매개 변수 좌표가있는 4 차원 공간으로 구성됩니다. # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, 우리가 일반적으로 말하는 곳 # x_0 = ct #. 특수 상대성 이론의 핵심에는 로렌츠 변환이 있습니다.이 변환은 하나의 관성 프레임에서 빛의 속도를 일정하게 유지하는 변환입니다. 나는 로렌츠 변환의 완전한 파생에 들어 가지 않을 것입니다, 만약 당신이 그것을 설명하기를 원한다면, 그냥 물어보십시오. 나는 더 자세히 설명 할 것입니다.
중요한 것은 다음과 같습니다. 우리가 유클리드 공간 (유클리드 공간 (우리가 익숙한 길이에 대한 일반적인 정의가있는 공간)을 보면 # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), 우리는 특정한 변형을 가지고있다; 공간 회전, 번역 및 미러링. 이러한 변환에 의해 연결된 다양한 참조 프레임에서 두 점 사이의 거리를 계산하면 거리가 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 유클리드 거리가 이러한 변환에 따라 변하지 않는다는 것을 의미합니다.
이제 우리는이 개념을 4 차원 시공간으로 확장합니다. 아인슈타인의 특수 상대성 이론이 나오기 전에 우리는 관성 프레임을 갈릴레이 변환으로 연결 시켰는데, 이것은 단지 공간 좌표 # x_i # 으로 # x_i-v_it # …에 대한 #iin {1,2,3} # 어디에 # v_i # 는 관찰자의 속도이다. #나는# 방향으로 이동합니다. 이 변환은 빛의 속도를 불변으로 남겨 두지 않았지만, 선 요소에 의해 유도 된 거리를 남겨 두었습니다 # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, 단순히 시간 좌표에 변화가 없기 때문에 단순히 시간은 절대적입니다.
그러나 갈릴레이 변환은 하나의 관성 프레임을 다른 관성 프레임으로 정확하게 변환하는 것을 설명하지 못합니다. 왜냐하면 적절한 좌표 변환을 통해 빛의 속도가 불변하다는 것을 알고 있기 때문입니다. 그러므로 우리는 로렌츠 변환을 도입했습니다. 위와 같이 유클리드 거리가 4 차원 시차로 확장 된 것은이 로렌츠 변환에서 불변하지 않지만, # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # 우리는 적절한 거리라고 부릅니다. 따라서 비록 피타고라스 정리가 유지하는 유클리드 거리가 4 차원 공간에서 완벽한 점잖은 수학 구조이지만 관찰자에 의존하기 때문에 물리적 의미가 없습니다.
적절한 거리는 관찰자에 의존하지 않으므로 물리적 의미를 부여 할 수 있습니다.이 거리는이 세계선을 따라 이동하는 물체가 관측 한 경과 시간과이 거리를 사용하여 Minkowski 공간을 통해 세계 선의 경계를 연결함으로써 수행됩니다. 시간을 고정 된 채로두면 피타고라스 정리는 여전히 공간 좌표에서 유지됩니다.
편집 / 추가 설명:
이 질문의 원래 질문자는 좀더 자세히 설명해달라고 부탁했습니다. "감사합니다.하지만 마지막 두 파라를 조금 더 설명해 주시겠습니까? # s ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. 설명해주십시오. "본질적으로 우리가 여기에서 설명한 것은 위에서 설명한 것의 2 차원 버전입니다. 우리는 한 시간과 한 공간 차원의 시공간에 대한 설명을 가지고 있습니다.이 위에서 우리는 거리 또는 더 정확하게 표준을 정의합니다. 점의 원점) #에스# 공식을 사용하여 # s ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # 어디에 #엑스# 공간 좌표입니다. #티# 시간 좌표
위의 작업은 3 차원 버전이지만 더 중요한 것은 # (ds) ^ 2 # 대신에 # s ^ 2 # (제곱 된 것을 명확히하기 위해 괄호를 추가했습니다). 미분 기하학에 대한 세부 사항을 너무 많이하지 않고도 공간의 두 점을 연결하는 선이 있다면, # ds # 줄의 작은 부분의 길이, 소위 선 요소입니다. 위에 쓴 2D 버전을 통해 우리는 # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #이 작은 조각의 길이는 좌표의 작은 변화와 관련이있다. 원점에서 점까지의 거리를 계산하려면 # x_0 = a, x_1 = b # 시공간적으로 원점에서 그 점까지 직선의 길이를 계산하면이 선이 주어진다. # x_0 = a / bx_1 # 어디에 # x_1 0, b # 안에, 우리는 # dx_0 = a / bdx_1 #, 그래서 # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, 그래서 # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, 우리는 그것을 통합 할 수 있습니다. (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt.
따라서 # 2 ^ 2 -a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # …에서 # (t, x) # 좌표.
실제로 제가 위에 쓴 것은 당신이 책에서 읽은 것을줍니다. 그러나 line 요소 버전을 사용하면 직선뿐만 아니라 모든 선의 길이를 계산할 수 있습니다. 로렌츠 변환에 관한 이야기는 여전히 성립하고 있습니다. #에스# 참조 프레임이 변경되면 불변하며, # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # 아니다.
피타고라스의 정리가 성립하지 않는다는 사실은 놀랍지 않습니다. Pythagoras 정리는 유클리드 기하학에서 유지됩니다. 이것은 당신이 일하는 공간이 평평하다는 것을 의미합니다. 평면이 아닌 공백의 예는 구체의 표면입니다. 이 표면에서 두 점 사이의 거리를 찾으려면이 두 점을 연결하는이 표면 위로 최단 경로 길이를 가져옵니다. 유클리드 공간의 삼각형과 매우 다른이 직각 삼각형을 만들려면 직선이 아니기 때문에 피타고라스 정리는 일반적으로 성립하지 않습니다.
유클리드 기하학의 또 다른 중요한 특징은이 공간에 좌표계를 놓으면 모든 좌표가 동일한 역할을 수행한다는 것입니다. 축을 회전하고 동일한 지오메트리로 끝낼 수 있습니다. 위의 Minkowski 지오메트리에서 시간 축에는 방정식에 빼기 부호가 있고 다른 좌표 축에는 없기 때문에 모든 좌표가 같은 역할을 수행하지는 않습니다. 이 마이너스 기호가 없다면, 시간과 공간은 시공간적으로 또는 최소한 지오메트리에서 비슷한 역할을합니다. 그러나 우리는 공간과 시간이 같지 않다는 것을 압니다.
