모든 복소수를 삼각 함수 형식으로 변환 한 다음 표현식을 단순화 하시겠습니까? 답을 표준 형식으로 작성하십시오.

대답:

# (2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

설명:

이 질문에 대한 또 다른 대답에서 나는이 질문에 오타가 있다는 것을 짐작했다. #-3# 될 예정이었다. # -sqrt {3} #. 저는 그것이 사실이 아니라는 논평에서 확신했습니다. 질문은 쓰여진대로 정확합니다.

우리가 어떻게 결정했는지 반복하지 않을거야.

# 2 + 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

하지만 이제 우리는 # -3 + i # 삼각 형태로. 우리가 할 수는 있지만 Trig의 선호하는 삼각형이 아니기 때문에 조금 더 어색합니다.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

우리는 두 번째 사분면에 있고 역 탄젠트의 주요 값은 네 번째 사분면입니다.

(1 / {- 3}) + 180 ^ circ # # {angle}

# 3 + i = sqrt {10} text {cis} (텍스트 {호} 텍스트 {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

De Moivre는 이와 같은 형태로 잘 작동하지 않습니다.

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 텍스트 {원} 텍스트 {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

그러나 우리는 붙어 있지 않습니다. 지수는 단지 #3# 우리는 삼중 각도 공식으로 이것을 할 수 있습니다. 우리가 찾은 일정한 각도를 부르 자

#theta = angle (-3 + i) #

드 모이브르 (De Moivre)

3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3theta)) # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {

우린 알아

# cosθ = -3 / sqrt {10}, quad sinθ = 1 / sqrt {10} #

(3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / ε = 50 #

3 sinθ - 4 sinθ 3 θ = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

(-9 + 13i) = -18 +26 i # 3 + 10 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50)

큐브를 만드는 것보다 더 많은 작업이 필요합니다. # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) (8-6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

좋아, 문제를 해결해 보자.

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# 5 {-3 + i} ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / { text {cis} 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {(3 ^ i} ^ 3 #) {/ text}

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) #

결코 끝나지 않습니다. 우리는 얻는다.

sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1 / 4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

(-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #