함수가 주어진 도메인에서 연속적이고 비 차별적 일 수 있습니까 ??

대답:

예.

설명:

이 중 가장 눈에 띄는 예제 중 하나는 Karl Weierstrass가 발견 한 Weierstrass 함수입니다.이 함수는 원래 논문에서 다음과 같이 정의했습니다.

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

어디에 # 0 <a <1 #, #비# 양의 홀수 정수이고 #ab> (3pi + 2) / 2 #

이것은 실제 라인의 모든 곳에서 연속적이지만 어디에서도 구별 할 수없는 매우 뾰족한 기능입니다.

대답:

예, "구부러진"지점이있는 경우 한 가지 예가 #f (x) = | x | # …에서 # x_0 = 0 #

설명:

연속적인 기능이란 실질적으로 종이에서 연필을 꺼내지 않고 그림을 그리는 것입니다. 수학적으로, 그것은 # x_0 # ~의 값 #f (x_0) # 그들이 무한히 작은 것으로 접근 할 때 # dx # 왼쪽과 오른쪽에서 평등해야합니다.

# lim_ (x x_0 ^ +) (f (x)) = lim_ (x x_0 ^ +)

여기서 마이너스 기호는 왼쪽에서 접근하는 것을 의미하고 + 기호는 오른쪽에서 접근하는 것을 의미합니다.

분화 가능 함수 란 실질적으로 기울기를 꾸준히 변화시키는 함수를 의미합니다 (일정 비율이 아님). 따라서 특정 지점에서 미분 할 수있는 함수는 실질적으로 점의 왼쪽에서 오른쪽으로의 기울기를 갑자기 변경한다는 것을 의미합니다.

2 가지 기능을 살펴 보겠습니다.

#f (x) = x ^ 2 # …에서 # x_0 = 2 #

그래프

그래프 {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}}

그래프 (확대)

그래프 {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}}

이후부터 # x_0 = 2 # 연필을 종이에서 꺼내지 않고도 그래프를 형성 할 수 있으며 그 지점에서 기능이 계속됩니다. 이 지점에서 구부러지지 않기 때문에 차별화 할 수 있습니다.

#g (x) = | x | # …에서 # x_0 = 0 #

그래프

그래프 {absx -10, 10, -5.21, 5.21}}

에서 # x_0 = 0 # 연필을 종이에서 꺼내지 않고도 그 기능을 계속 사용할 수 있습니다. 그러나, 그 시점에서 구부리기 때문에, 기능은 분별할 수 없습니다.