F (x, y) = xy (1-x-y)의 극한값과 안장 점은 무엇입니까?

대답:

포인트 #(0,0),(1,0)#, 및 #(0,1)# 안장 포인트입니다. 요점 #(1/3,1/3)# 지역 최대 점입니다.

설명:

우리는 확장 할 수있다. #에프# 에 #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. 다음, 부분 미분을 찾아 0과 동일하게 설정하십시오.

(1-x-y) = 0 # 2 -

x-2yy = 0 (1-x-2y) = 0 #

분명히, # (x, y) = (0,0), (1,0), # 과 #(0,1)# 이 시스템에 대한 해결책이며, #에프#. 다른 솔루션은 시스템에서 찾을 수 있습니다. # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. 에 대한 첫 번째 방정식을 푸십시오. #와이# 의 관점에서 #엑스# 주는 # y = 1 ~ 2x #, 두 번째 방정식에 연결하여 얻을 수 있습니다. # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1 / 3 #. 이것으로부터, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1 / 3 # 게다가.

이러한 중대한 포인트의 특성을 테스트하기 위해 이차 파생 상품을 찾습니다.

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, 및 frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2}.

따라서 판별자는 다음과 같습니다.

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

첫 번째 세 가지 핵심 사항을 다음과 같이 연결합니다.

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, 및 #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #,이 포인트 안장 포인트를 만들고있어.

마지막 임계점을 연결하면 #D (1 / 3,1 / 3) = 4 / 3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1 / 3> 0 #. 또한 유의하십시오. 1 / 3,1 / 3 = -2/3 <0 # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}. 따라서, #(1/3,1/3)# 지역 최대 값의 위치입니다. #에프#. 로컬 최대 값 자체가 #f (1 / 3,1 / 3) = 1 / 27 #.

아래는 레벨 곡선의 등고선지도 사진입니다. #에프# (곡선의 출력이 #에프# 상수), 4 가지 중요한 포인트와 함께 #에프#.