이등변 삼각형의 두 모서리는 (1,3)과 (9, 4)에 있습니다. 삼각형의 면적이 64 인 경우, 삼각형의 변의 길이는 얼마입니까?

대답:

삼각형의 변의 길이는 다음과 같습니다.

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

설명:

두 점 사이의 거리 # (x_1, y_1) # 과 # (x_2, y_2) # 거리 공식에 의해 주어진다.

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

그래서 사이의 거리 # (x_1, y_1) = (1, 3) # 과 # (x_2, y_2) = (9, 4) #:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

그것은 비합법적 인 숫자로 #8#.

삼각형의 다른 변 중 하나가 같은 길이라면 삼각형의 가능한 최대 영역은 다음과 같습니다.

# 1 / 2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

그래서 그럴 수 없습니다. 대신 다른 두면은 같은 길이 여야합니다.

주어진면을 가진 삼각형 # a = sqrt (65), b = t, c = t #헤론의 공식을 사용하여 해당 지역을 찾을 수 있습니다.

왜가리 수식은 우리에게 삼각형의 변이 # a, b, c # 반 경계 #s = 1/2 (a + b + c) # 주어진다:

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)))

우리의 경우에 반 경계는 다음과 같습니다.

#s = 1 / 2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

헤론의 공식은 우리에게 다음과 같이 알려줍니다.

(65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) # 64 = 1 / 2sqrt (t + sqrt (65) / 2)

#color (흰색) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

양끝에 #2# 얻으려면:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

얻으려면 양쪽에 광장:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

양쪽에 #4/65# 얻으려면:

# 65536 / 65 = t ^ 2-65 / 4 #

조 변경 및 추가 #65/4# 얻을 양측:

# t ^ 2 = 65536 / 65 + 65 / 4 = 262144 / 260 + 4225 / 260 = 266369 / 260 #

다음을 얻기 위해 양변의 양의 제곱근을 취하십시오.

#t = sqrt (266369/260) #

따라서 삼각형의 변의 길이는 다음과 같습니다.

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

다른 방법

Heron의 공식을 사용하는 대신 다음과 같이 추론 할 수 있습니다.

주어진 이등변 삼각형의 밑면 길이는 다음과 같습니다.

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

지역은 # 64 = 1 / 2 "base"xx "height"#

따라서 삼각형의 높이는 다음과 같습니다.

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

이것은베이스의 중간 점을 통과하는 삼각형의 수직 이등분선의 길이입니다.

그래서 다른 두면은 다리가있는 두 개의 직각 삼각형의 빗변을 이룹니다 #sqrt (65) / 2 # 과 # (128sqrt (65)) / 65 #

따라서 피타고라스 (Pythagoras)는 각면의 길이가 같습니다:

# sqrt (65 / 4 + 65536 / 65) = sqrt (266369/260) # sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) /