삼각형의 두 모서리는 (2π) / 3과 (pi) / 4의 각도를가집니다. 삼각형의 한면의 길이가 4 인 경우 삼각형의 가능한 가장 긴 둘레는 무엇입니까?

대답:

# P_max = 28.31 # 단위

설명:

이 문제는 임의의 삼각형에서 세 각도 중에서 두 가지를 제공합니다. 삼각형의 각 합은 180도까지 증가해야하기 때문에 # 파이 # 라디안, 우리는 세 번째 각도를 찾을 수 있습니다:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2π) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

삼각형을 그려 봅시다:

문제는 삼각형의 변 중 하나의 길이가 4임을 나타내지 만 어느면을 지정하지는 않습니다. 그러나 주어진 삼각형에서 가장 작은 측면이 가장 작은 각과 반대가됩니다.

둘레를 최대화하려면 가장 작은 각도에서 반대편 길이가 4 인면을 만들어야합니다. 다른 두면은 4보다 커야하므로 둘레를 최대화합니다. 따라서 밖으로 삼각형이됩니다:

마지막으로 사인 법칙 다른 두면의 길이를 찾으려면:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

연결하면 다음과 같이 표시됩니다.

#sin (π / 12) / 4 = sin (π / 4) / x = sin ((2π) / 3) / y #

x와 y에 대해 다음과 같이 구합니다.

# x = 10.93 # 과 # y = 13.38 #

따라서 최대 둘레는 다음과 같습니다.

# P_max = 4 + 10.93 + 13.38 #

# P_max = 28.31 #

노트: 문제는 삼각형의 길이 단위를 지정하지 않으므로 "단위"만 사용하십시오.