대답:
직접 비교 테스트로 수렴합니다.
설명:
지금까지 직접 비교 테스트를 사용할 수 있습니다.
직접 비교 테스트를 사용하려면
첫째, 간격에 유의하십시오.
또한, 우리는 말할 수있다.
그런 다음 새 시퀀스를 정의 할 수 있습니다.
잘,
우리는 이것이
그런 다음 큰 시리즈가 수렴하므로 작은 시리즈도 수렴해야합니다.
대답:
직접 비교 테스트를 통해 수렴됩니다 (자세한 내용은 아래 참조).
설명:
코사인의 범위는 -1,1임을 확인하십시오. 의 그래프를 확인하십시오.
그래프 {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}}
보시다시피, 최고 이 값은 1이됩니다. 여기서 수렴을 증명하려고하기 때문에 분자를 1로 설정하고 다음과 같이 둡니다.
이제 이것은 매우 간단한 직접 비교 테스트 문제가됩니다. 직접 비교 테스트에서 수행 할 작업을 상기하십시오.
임의의 시리즈를 고려해보십시오.
만약
만약
이 함수를 다음과 비교할 수 있습니다.
그래서, 이후
그러나 잠깐, 우리는 분자가 1 일 때이 시리즈가 수렴한다는 것을 증명했습니다. 다른 모든 값은 어떨까요?
희망이 도움이:)
컨버전스의 정의를 사용하여, 시퀀스 {5+ (1 / n)}이 n = 1에서 무한대로 수렴된다는 것을 어떻게 증명합니까?
N> m 인 NN의 임의의 m, n에 대해 a_n = 5 + 1 / n을 다음과 같이 표현하자. abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m n> m => 1 / n <1 / m : abs (1 + m / n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n 및 1 / n> 0 : abs (a_m-a_n) <1 / m이다. 임의의 실수 ε> 0이 주어지면, 정수 N> 1 / ε을 선택한다. 임의의 정수 m, n> N에 대해서 우리는 다음과 같은 것을 가지고있다 : abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <순서의 수렴에 대한 Cauchy의 조건을 증명하는 ε.
시리즈가 수렴하는 r (r> 0)의 값은 무엇입니까?
R <1 / e는 sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n)의 수렴을위한 조건이다. 나는 수렴에 관한 부분에 대해서 대답 할 것이고, 첫 번째 부분은 주석에 응답되어있다. 우리는 sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = 형태로 sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n)을 재 작성하기 위해 r ^ ln (n) = n ^ ln 오른쪽에있는 시리즈는 유명한 Riemann Zeta 함수의 시리즈 양식입니다. 이 시리즈가 p> 1 일 때 수렴한다는 것은 잘 알려져있다. 이 결과를 직접 사용하면 ln (r) <1은 ln (r) <- 1은 r <e ^ -1 = 1 / e를 의미 함을 의미합니다. Riemann Zeta 함수에 대한 결과는 매우 잘 알려져 있습니다. , 당신은 수렴을위한 통합 테스트를 시도 할 수 있습니다.
다음 시리즈가 수렴하는 x 값을 찾으십니까?
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