다음 시리즈가 수렴하는 x 값을 찾으십니까?

대답:

#1<>

설명:

이와 같은 멱급수의 수렴 반경 및 / 또는 간격을 결정할 때, 시리즈에 대해 알려주는 비율 테스트를 사용하는 것이 가장 좋습니다 # suma_n #, 우리는

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

만약 #L <1 # 이 시리즈는 절대적으로 수렴적인 (convergent)

만약 #L> 1 #, 시리즈는 갈라진다.

만약 # L = 1, # 비율 테스트는 결정적이지 않습니다.

그러나 Power Series의 경우 3 가지 경우가 가능합니다.

에이. 멱급수는 모든 실수에 대해 수렴합니다. 그것의 수렴 간격은 # (- oo, oo) #

비. 멱급수는 수적으로 수렴한다. # x = a; # 그것의 수렴 반경은 0이다.

기음. 가장 빈번한 경우 인 멱급수는 # | x-a |<> 수렴 간격으로 # a-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

그래서 만약 # | 2x-3 | <1 #, 시리즈 수렴. 그러나 우리는 이것을 형태로 필요로한다. # | x-a |<>

# | 2 (x-3 / 2) | <1 #

# 2 | x-3 / 2 | <1 #

# | x-3 / 2 | <1 / 2 # 컨버전스가 발생합니다. 수렴 반경은 # R = 1 / 2 #

이제 간격을 결정합시다.

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

우리는 플러그가 필요해. # x = 1, x = 2 # 이 종점에서 수렴 또는 발산 여부를 확인하기 위해 원래 시리즈로

^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # 0 = sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) diverges, summand에는 아무 한계도없고 확실히 0으로 가지 않는다, 다만 교체 표시.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # 발산 테스트 (Divergence Test) #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

따라서이 시리즈는 #1<>

우리가 시리즈를 가지고 있다면 그것을 말하는 비율 테스트를 사용할 수 있습니다.

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

다음 경우에 확실히 수렴됩니다.

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

우리의 경우, # a_n = (2x-3) ^ n #, 그래서 우리는 한계를 점검한다:

(2x-3) cancel ((2x-3) ^ n) = lim_ (n-> 0o) | (2x-3)) ^ n)) / 취소 ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

그래서 우리는 언제 확인해야합니까? # | 2x-3 | # ~보다 작다 #1#:

나는 여기서 실수를했지만, 위의 대답은 똑같은 방법과 올바른 대답을 가지고 있습니다. 그래서 대신에 그 점을 살펴보십시오.

시리즈가 수렴하는 r (r> 0)의 값은 무엇입니까?

R <1 / e는 sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n)의 수렴을위한 조건이다. 나는 수렴에 관한 부분에 대해서 대답 할 것이고, 첫 번째 부분은 주석에 응답되어있다. 우리는 sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = 형태로 sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n)을 재 작성하기 위해 r ^ ln (n) = n ^ ln 오른쪽에있는 시리즈는 유명한 Riemann Zeta 함수의 시리즈 양식입니다. 이 시리즈가 p> 1 일 때 수렴한다는 것은 잘 알려져있다. 이 결과를 직접 사용하면 ln (r) <1은 ln (r) <- 1은 r <e ^ -1 = 1 / e를 의미 함을 의미합니다. Riemann Zeta 함수에 대한 결과는 매우 잘 알려져 있습니다. , 당신은 수렴을위한 통합 테스트를 시도 할 수 있습니다.

시리즈가 수렴된다는 것을 증명하는 방법?

직접 비교 테스트로 수렴합니다. 우리는 sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE가있는 한 직접 비교 테스트를 사용할 수 있습니다. 직접 비교 테스트를 사용하려면 a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2)가 [1, oo]에서 양수임을 증명해야합니다. 첫째, 구간 [1, oo]에서 cos (1 / k)는 양의 값이다. x 값= 1, 1 / kcos (1 / k) = cos (0) = 1이다. 그런 다음 모든 k에 대해 새로운 시퀀스 b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k를 정의 할 수있다. 우리는 p-series test에 의해 수렴을 알았고, sum1 / k (1) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ ^ p 여기

시리즈가 절대적으로 수렴, 조건 적으로 수렴 또는 발산했음을 나타 냅니까? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1 / 64 ...

그것은 절대적으로 수렴합니다. 절대 수렴 테스트를 사용하십시오. 우리가 항의 절대 값을 취하면 우리는 시리즈 4 + 1 + 1 / 4 + 1 / 16 +을 얻습니다. 이것은 공통 비율 1/4의 기하학적 시리즈입니다. 따라서 수렴합니다. | a_n | 수렴 a_n은 절대적으로 수렴합니다. 잘하면이 도움이됩니다!