이 적분을 어떻게 풀 수 있습니까?

대답:

#int ("d"x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# 1 / 4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #

설명:

#int ("d"x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# = int ("d"x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) #

자, 부분 분수를합시다. 그것을 가정하자.

A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / (x + 1) -1) ^ 2 #

일부 상수의 경우 # A, B, C, D #.

그때, (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 #

확장하려면 가져 오기

B + C + D-A + B-C + D-A + B-C + D-.

계수를 같음:

(A + B-C + D = 1):} # {(A + C = 0), (B + C + D-A = 0)

해결하면 준다. # A = B = D = 1 / 4 # 과 # C = -1 / 4 #.

따라서, 우리의 원래 적분은

1 / (4 (x-1) ^ 2) -1 / (4 (x-1)) + 1 / (4)) "d"x #

1 / 4ln (x-1) -1 / (4 (x-1)) + C #

단순화:

# 1 / 4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #