Int x ^ lnx를 통합하는 방법?

대답:

(x) + dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

설명:

우리는 u- 치환으로 시작합니다. # u = ln (x) #. 우리는 다음의 파생어로 나눕니다. #유# 존중과 통합하다 #유#:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

이제 우리는 다음을 위해 풀어야합니다. #엑스# 의 관점에서 #유#:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

(u ^ 2 + u) du # int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u)

당신은 이것에 기초적인 미분 파기가 없다고 생각할 수 있습니다. 그러나 우리는 허수 오차 함수에 대해 형식을 사용할 수 있지만, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

이 형식으로 우리의 통합을 얻으려면, 우리는 지수의 하나의 제곱 변수 만 가질 수 있습니다. #이자형#, 그래서 우리는 사각형을 완성해야합니다:

# u ^ 2 + u = (u + 1 / 2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1 / 4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1 / 2) ^ 2-1 / 4 #

(u + 1 / 2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1 / 2) ^ 2) du #

이제 우리는 u- 치환을 # t = u + 1 / 2 #. 파생 상품은 단지 #1#, 그래서 우리는 특별한 측면에서 통합 할 필요가 없습니다. #티#:

(d ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

이제 모든 대치를 취소하여 다음을 얻을 수 있습니다.

(x) +1/2) + C # e ^ (-1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1 / 2) + C #