X의 어떤 값이 f (x) = x-x ^ 2e ^ -x 오목 또는 볼록입니까?

대답:

2 차 미분을 찾아 부호를 확인하십시오. 양성이고 음이면 오목하다면 볼록하다.

오케스트라:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

볼록 대상:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

설명:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

1 차 미분:

(xx) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (-e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

갖다 # e ^ -x # 다음 파생물을 단순화하는 공통 요인으로

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

2 차 미분:

(x2-2) + e2-x * (2x-2)) #f ''(x) = 0 +

# f ''(x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

# f ''(x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

이제 우리는 사인을 연구해야합니다. 2 차 방정식을 쉽게 풀 수있는 신호를 바꿀 수 있습니다.

#f ''(x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

이차 곡선을 만드는 방법은 다음과 같습니다.

(2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

따라서:

(x - (2 + sqrt (2))) #f ''(x) = -

• 가치 #엑스# 이 두 해법 사이의 차이는 음의 이차 부호를 나타내지 만, #엑스# 그것을 긍정적으로 만든다.
• 임의의 값 #엑스# ~을 만든다 # e ^ -x # 양.
• 함수 시작시 음수 부호는 모든 부호를 바꿉니다.

따라서, #f ''(x) #:

양수, 그러므로 오목함:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

음수, 그러므로 볼록:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #