N = 2 일 때 무한 기하 급수 10 (2/3) ^ n의 합을 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

대답은 #40/9# 또는 #40/3# 문제의 의미에 따라

설명:

그렇다면 #n = 2 # 그때 합계가 없습니다, 대답은 단지입니다:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

그러나 아마도이 질문은 무한한 액수가 # n = 2 # 등식은 다음과 같습니다.

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

이 경우 먼저 기하학적 시리즈가 다음과 같은 형식으로 간주 될 수 있다는 점을 고려하여 계산합니다.

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

이 경우 Google의 시리즈는 #a = 10 # 과 #r = 2 / 3 #.

우리는 또한 다음을 주목할 것입니다:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

따라서 우리는 단순히 기하 급수의 합을 계산할 수 있습니다. # (2/3) ^ n # 그 합계를 #10# 우리의 결과에 도달합니다. 이것은 일을 더 쉽게 만듭니다.

우리는 또한 방정식을 가지고 있습니다:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

이것은 우리가 시작하는 시리즈의 합계를 계산할 수있게합니다. # n = 0 #. 그러나 우리는 그것을 다음과 같이 계산하려고합니다. # n = 2 #. 이렇게하기 위해, 우리는 단순히 # n = 0 # 과 # n = 1 # 전체 금액에서 조건. 합계의 첫 번째 여러 조건을 작성하면 다음과 같이 보입니다.

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

우리는 그것을 볼 수 있습니다:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#