X가 무한대로 접근함에 따라 (ln x) ^ (1 / x)의 한계를 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

설명:

변수 지수를 처리 할 때 우리는 아주 일반적인 트릭으로 시작합니다. 우리는 무언가의 자연 로그를 취한 다음 역 연산이므로 값을 변경하지 않고 지수 함수의 지수로 올릴 수 있습니다. 그러나 로그 규칙을 유용하게 사용할 수 있습니다.

# (1 / x)) # (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)))

로그의 지수 규칙 사용:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

그것은 다음과 같이 변하는 지수입니다. # xrarroo # 그래서 우리는 그것에 집중하고 지수 함수를 외부로 옮길 수 있습니다:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

자연 로그 함수의 동작을 살펴보면 x가 무한대로 변함에 따라 함수의 값도 매우 느리게 들여지지만 무한대 인 경향이 있음을 알 수 있습니다. 우리가 취할 때 #ln (ln (x)) # 우리는 매우 천천히 무한대로 변하는 로그 함수 내부에 변수를 가지고 있습니다. 이는 매우 천천히 무한대로 변하는 전반적인 함수를 가지고 있음을 의미합니다. 아래의 그래프는 최대 # x = 1000 # 그러나 그것은 매우 느린 성장을 보여줍니다. #ln (ln (x)) # 심지어 느린 성장과 비교하여 #ln (x) #.

이 동작에서 우리는 #엑스# 훨씬 빠른 점근 적 성장을 보이고 지수의 한도는 0이 될 것입니다. #color (blue) ("전체 제한 = 1입니다.") #

우리는 또한 L' hopital의 규칙으로이 지점을 해결할 수 있습니다. 우리는 제한이 불확실한 형태로 있어야합니다. 즉 # 0 / 0 또는 oo / oo # 그래서 우리는 이것이 사실인지 확인합니다:

#ln (oo) = ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) =

#lim_ (xrarroo) x = oo #

이것은 사실상 한계가되는 경우입니다.

(d / (dx) x))) # = exp (lim_ (xrarroo) (d / (dx)

차별화하려면 #y = ln (ln (x)) # 우리가 알아 차린다. #y (u (x)) # 체인 규칙을 사용하십시오.

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

# u = ln (x)는 (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u)는 (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)

1 / x = 1 / (xln (x)) #therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln

파생 상품 #엑스# ~이다. #1#. 한도:

(1 / (xln (x))))) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) # = exp (lim_ (xrarroo)

우리는 분모의 두 함수가 모두 무한대 인 경향이 있으므로

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #