웨이브 함수 란 무엇이며, 웨이브 함수가 정상적으로 작동하기위한 요구 사항은 무엇입니까? 즉, 물리적 인 리얼리티를 적절하게 나타 내기위한 요구 사항은 무엇입니까?

대답:

파동 함수는 진폭 (절대 값)이 확률 분포를 제공하는 복소수 값 함수입니다. 그러나 그것은 보통 웨이브와 같은 방식으로 행동하지 않습니다.

설명:

양자 역학에서 우리는 시스템의 상태에 대해 이야기합니다. 가장 단순한 예 중 하나는 위 또는 아래로 회전 할 수있는 입자입니다 (예: 전자). 시스템의 스핀을 측정 할 때 위 또는 아래로 측정합니다. 우리가 측정의 결과를 확신하는 상태, 우리는 고유 상태 (하나의 상태 # uarr # 하나의 다운 상태 # darr #).

우리가 측정하기 전에 측정 결과를 확신 할 수없는 국가도 있습니다. 우리는 중첩이라고 부르는 이러한 상태를 다음과 같이 쓸 수 있습니다. # a * uarr + b * darr #. 여기있다. # | a | ^ 2 # 측정 확률 # uarr #, 및 # | b | ^ 2 # 측정 확률 # darr #. 이것은 물론 # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. 우리는 허용한다. # a, b # 복소수가되는 이유는이 예에서 즉시 분명하지 않지만 파동 함수와 관련하여 더 명확 해집니다. 결론은 스핀 측정에 대해 동일한 확률을주는 것보다 더 많은 상태가 있다는 것입니다.

이제 우리는이 스핀 상태에 함수를 할당하려고 할 수 있습니다. 스핀 측정의 결과는 두 가지뿐이므로 가능한 입력이 두 개인 기능이 있습니다. 함수를 호출하면 # psi # (이것은 파동에 사용되는 매우 일반적인 기호입니다), 우리는 # psi (uarr) = a # 과 #psi (darr) = b #.

이제 파동 함수를 살펴 보겠습니다. 물론 입자의 한 측면은 그 위치입니다. 스핀의 경우와 마찬가지로 위치의 고유 값을 측정 할 수 있으며 측정 결과가 미리 고정되어 있지 않은 상태를 가질 수 있습니다. 입자가있을 수있는 무한한 양의 위치가 있기 때문에이 상태를 # a * "여기"+ b * "거기"# 하지 않을 것이다. 그러나 위에서 사용 된 기능에 대한 아이디어가 있습니다. 그래서 어떤 위치 #엑스#우리에게는 복잡한 가치가 있습니다. #psi (x) #. 입자의 확률 밀도 함수는 다음과 같이 주어진다. # | psi (x) | ^ 2 #.

모든 공정성에서, 파동 함수의 개념은 역사적으로 스핀보다 오래되었지만, 스핀의 아이디어를 어느 정도 이해하면 파동 함수를 이해하는 데 도움이 될 것이라고 생각합니다.

이제 우선, 파동 함수는 왜 가치가 있습니까? 첫 번째 이유는 간섭의 아이디어에서 찾을 수 있습니다. 입자의 파동 함수는 그 자체를 방해 할 수 있습니다. 이 간섭은 파동 함수를 합산하는 것과 관련이 있습니다. 파동 함수가 특정 지점에서 동일한 절대 값을 제공하면 그 점 주위의 입자를 측정 할 확률은 비슷합니다. 그러나 함수 값이 다를 수 있습니다, 만약 그들이 동일하다, 그들을 추가 할 것입니다 진폭, 또는 확률 밀도 4 (#|2|^2#) 시간이 더 크고 (건설적인 간섭), 기호에 따라 다를 경우 서로를 상쇄합니다 (파괴적인 간섭). 그러나 또한 예를 들어 요인에 의해 다를 수 있습니다 #나는#, 즉 확률 밀도가 #2# 그 시점에서 더 큰 시간. 우리는 이러한 모든 간섭이 발생할 수 있음을 압니다. 따라서 앞에서 설명한 것처럼 복잡한 값의 파동 함수를 가리 킵니다.

두 번째 이유는 Schrödinger 방정식에서 찾을 수 있습니다. 초기에 이러한 파동 함수는 고전파처럼 행동했다고 생각했습니다. 그러나 Schrödinger가 이러한 파동의 거동을 설명하려고하거나 적어도 시간의 경과에 따른 진화를 기술 할 때, 그는 고전파를 지배하는 방정식이 적절하지 않음을 발견했다. 함수가 작동하려면 함수에 복소수를 도입해야만 함수 자체가 복잡해야하고 방정식에 나타나는 파생어 순서는 고전 파동 방정식과 다릅니다.

이 방정식의 차이점은 두 번째 질문에 대한 해답이기도합니다. 파동 함수의 진화는 고전파와 많이 다르므로 고전 파 물리학에서 사용하는 것과 같은 방법을 사용할 수 없습니다. 물론 사용할 수있는 기하학적 논의가 있지만 양자 물리학의 모든 현상을 설명하는 것으로는 충분하지 않습니다. 게다가 파동 함수는 파티클의 상태에 대한 많은 정보를 제공하지만 관측 스핀과 위치가 서로 관련이 없으므로 파티클의 스핀에 관해서는 알려주지 않습니다.

아마 내가 기하학적 인 본질을 잘못 해석하고 있습니다. 아마 당신이 의미하는 것을 보여줄 수 있습니까? 아마도 나는 너를 더 멀리 도울 수 있었다.

그만큼 웨이브 함수 원자 또는 분자와 같은 양자 기계 시스템의 상태를 나타냅니다.

둘 중 하나로 표현 될 수있다. # psi #, 시간 독립적 인 파동 함수 또는 # Psi #, 시간 의존적 인 웨이브 기능.

왜냐하면 웨이브 함수는 분명히 다음과 같이 작동하는 시스템을 나타냅니다. 웨이브 (그것이 우연히 불려지는 것은 우연이 아닙니다. 웨이브 함수!), 우리는 일반적으로 무제한의 웨이브 함수는 경계가 없다. 사실을 고려해보십시오. # sinx # 과 # cosx #분명히 파도 인 두 가지 기능은 # (- oo, oo) #.

보기: ORBITAL을위한 파동 함수

그러나 예를 들어 궤도를 돌 보자. 집합이 있어야합니다. 경계 조건 왜냐하면 분명히 궤도가 무한대로 커지지 않기 때문입니다.

웨이브 함수는 원자 궤도의 선형 결합 분자 궤도를 형성하기 위해:

#color (파랑) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO"#

# = color (blue) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz)

어디에 # c_i # 는 팽창 계수 문제의 특정 분자 궤도에 대한 각 원자 궤도의 기여를 나타내는 # phi_i ^ "AO"# 는 실험 / 시험 파형 기능 각 원자 궤도마다.

웨이브 함수는 궤도를 나타낼 수 있어야하기 때문에 양의 반경을 가져야합니다 (#r> 0 #) 그리고 웨이브 함수는 반드시 단일 평가, 닫은 , 마디 없는 , 직각의 모든 관련 웨이브 함수에 적용 표준화 가능 .

즉, 수직선 테스트를 통과하고 곡선 아래에 유한 영역을 가지며 점프 / 불연속 / 점근선 / 끊김이없고 다음 두 가지 방정식을 만족해야합니다.

#int_ "allspace"psi_A ^ "*"psi_Bd tau = 0 #

(파 함수와 그것의 복소 공액의 적분은 다음과 같다. #0# 웨이브 기능이 다른 경우)

#int_ "allspace"psi_A ^ "*"psi_Ad τ = 1 #

(파 함수와 그것의 복소 공액의 적분은 정규화되어 같은 #1# 파동 함수가 부호 이외에 동일하면 # pmi #)

수소 원자에 대한 구 좌표계의 파 함수에 대한 한 가지 방정식은 다음과 같습니다.

#color (blue) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

(Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) (1 / (sqrt (32pi) #

생각하기 위해, 나는 이것을 실제로 정상화하는 데 시간을 보냈습니다. 나는 심지어 다른 두 사람과의 직교성을 확인하기 위해 시간을 보냈다. # 2p # 웨이브 기능.:피

단지 위의 Scratchpads에 링크 된 내용의 부록이 있습니다.

#' '#

정상화

그만큼 # 2p_z # 원자 궤도 파동 함수:

#psi_ (2pz) #

(θ, φ) # (R) (θ) = (R_ (1)

1 / sqrt (32π) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

너는 # 2p_z # 파동 함수 정말 정규화 된? 알아 보자!

(n-1) ^ (n) (r) (2) r_ {2} r_ {0} ^ (pi) 세타, 파이) intinta (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

(0) ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr_int_ (0_0) ^ (1 / sqrt)) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad_the_int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

r ^ 4dr stackrel (= "2/3") #color (녹색) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ stackrel (=) 1) # stacker (= 2pi) stackrel (= 2pi) stackrel (= 2pi)

이제, 방사형 부분 만 검사하면 미친 부분이됩니다 … 부품 별 4 중 통합을 시작하십시오!

파동 함수의 래디얼 구성 요소 평가

1 부

(0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

방해:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

# v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

(a_0)) = (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

(Zr) / (a_0)) r 3dr} η = (a_0) / Z {

2 부

방해:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

# v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

(Zr) / (a_0)) r-4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

(Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ - (Zr) / (a_0) (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

3 부

방해:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

# v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

Z = (a_0)) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) (Zr) / (a_0)) rdr}}} (2)

r ^ 3 + (3a_0) / Z (e_0) / Z {e_ (Zr) / (a_0) (Zr) / (a_0)) rdr}}} (2)

4 부

방해:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

# v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

r ^ 3 + (3a_0) / Z (e_0) / Z {e_ (Zr) / (a_0) / (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) dr}}} #

r ^ 3 + (3a_0) / Z (e_0) / Z {e_ (Zr) / (a_0) (Zr) / (a_0)) / (a_0)) / (a_0))) dr}} #

확장 / 단순화

= (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (a_0)) / (a_0) / (a_0)) / (a_0) / (a_0) (Zr) / (a_0))} #

(Zr) / (a_0)) rr4 - ((a_0) / Z) ^ 2e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze (a_0) / Ze (a_0) ^ (- (Zr) / (a_0))} #

(Zr) / (a_0)) rr4 - ((a_0) / Z) ^ 2e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))}} #

(Zr) / (a_0)) 4 - ((Zr) / (a_0)) - ((a_0) / Z) 24r-24 ((a_0) / (a_0) / (a_0)) / 4) Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

평가 - 준비 양식

(a_0) / Zr ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

전반은 취소되었습니다. 되려고 #0#:

# (a_0) / Zoo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (Z (0) / Z) (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) (0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

후반은 단순화 되려고 # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

(0) + 취소 (4 ((a_0))) ^ (1) (0) + 취소 (24 ((a_0) / Z) ^ (0) ^ 2) ^ (0) 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

자, 웨이브 함수 전체를 다시 살펴 보겠습니다 …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

(취소 (2) 취소 (파이)) (취소 (16) 취소 ((a_0 / Z) ^ 5) stackrel (?) (=) 1 #

#color (파란색) (1 = 1) #

예! 하나는 평등! 내말은…

웨이브 함수는 실제로 정상화되었습니다!:디

2p 파 함수에 대한 상호 직교성 입증

다음 웨이브 함수를 선택해 보겠습니다.

(2πx) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2"(Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /"2a_0)

1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2"(Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /"2a_0) sinthetasinphi #

(Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /"2a_0) costheta # (2πz) = 1 / (sqrt (32pi)

그것들이 직교하다는 것을 보여주기 위해서, 우리는 그것들 중 적어도 하나를 보여줄 필요가 있습니다:

#int _ ("모든 공간") psi_ (2px) ^ "*"psi_ (2pz) d τ = 0 #

유도에서 우리는 방사형 구성 요소가 동일하기 때문에 나머지를 암시 할 수 있습니다. 다른 말로:

r_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (Φ) dφ stackrel (ψ) (=) 0) # (Φ)

#color (녹색) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /"a_0) r ^ 4dr int_ ^ 2 타코스테스테 타 int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

방사형 부분은 # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. 그래서 각도 부분을 평가 해 봅시다.

그만큼 # theta # 일부:

#color (초록색) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2 타코시다 쎄타) #

방해:

#u = 신테 타 #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1 / 3 * | sin ^ 3θ | _ (0) ^ (pi) #

# = 1 / 3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1 / 3 * 0 - 0 = 색상 (녹색) (0) #

그리고 지금 # phi # 일부:

#color (녹색) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

방해:

#u = 신테 타 #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = 색상 (녹색) (0) #

따라서 우리는 전반적으로:

#color (파란색) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /"a_0) r ^ 4dr int_ ^ 2 타코스테스 테타 int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0) # # 취소 (1 / (32pi) (Z / (a_0)

# = 색상 (파란색) (0) #

이후

#int _ ("모든 공간") psi_ (2px) ^ "*"psi_ (2pz) d τ = 0 #

그만큼 # 2p_z # 과 # 2p_x # 원자 궤도는 직각이다.

실제로, # 2p_y # 방정식은 당신이 대신 얻는 것입니다:

(2) sinphicosphidphi stackrel (=) (=) #color (녹색) ("상수"int_ (0) ^ (oo) 0) #

그래서:

#color (파란색) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1 / 2 | sin ^ 2φ | _ (0) ^ (2π) #

# = 1 / 2 sin ^ 2 (2π) - sin ^ 2 (0) = 색상 (파란색) (0) #

곱하기에서 #0# 다른 적분에 의해, 따라서 전체 적분은 사라지고:

#int _ ("모든 공간") psi_ (2px) ^ "*"psi_ (2py) dtau = 0 #

그래서 # 2p_x # 과 # 2p_y # 원자 궤도는 직각이다.

마지막으로, # 2p_y # 대 # 2p_z #:

(2) sinphidphi stackrel (?) (=) (#) #incolor (녹색) ("상수"int_ (0) ^ (oo) 0) #

우리는 # theta # 전에부터 적분:

#color (청색) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2 타코 스테 잇시다) #

# = 1 / 3 * | sin ^ 3θ | _ (0) ^ (pi) #

# = 1 / 3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1 / 3 * 0 - 0 = 색상 (파란색) (0) #

그래서 전체 적분은 다시 사라지고 실제로 # 2p_y # 과 # 2p_z # 궤도는 직교도 있습니다!