Phi_n을 고조파 발진기의 적절하게 정규화 된 n 번째 에너지 고유 함수라고하고 psi = hatahata ^ (†) phi_n이라고합니다. psi는 무엇입니까?

고조파 발진기 해밀턴을 고려해보십시오 …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2mu) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) #

이제 대체를 정의하십시오.

#hatx " '"= hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp " '"= hatp / sqrt (muomega) #

이것은 다음을 제공합니다:

# hatH = 1 / (2mu) (hatp " '"^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx "'"^ 2) / (muomega)) #

# = omega / 2 (hatp " '"^ 2 + hatx "'"^ 2) #

다음으로 대체를 고려하십시오.

#hatx " ''"= (hatx " '") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp " ''"= (hatp " '") / sqrt (ℏ) #

그래서 # hatx " ''" "hatx" "" "hatp" '' "- hatp" '' "hatx" '' "= i #. 이것은 다음을 제공합니다:

#hatH = 오메가 / 2 (hatp " ''"^ 2cdotℏ + hatx " '"^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (hatp " ''"^ 2 + hatx " '"^ 2) #

이후 #hatp " ''"^ 2 # 과 #hatx " ''"^ 2 # 복잡한 공액 (conjugate)의 곱으로 분해 될 수 있고, 사다리 연산자를 정의 할 수있다.

#hata = (hatx " ''"+ ihatp " ''") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx " ''"- ihatp " ''") / sqrt2 #

그래서:

# hatahata ^ (†) = (hatx "" ' "^ 2 - ihatx"' ""hatp " '"+ ihatp "'"hatx " '" "+"hatp "'"^ 2) / 2 #

# 2 (hatx " ''", hatx " ''")) / 2 # (hatx " ''")

이후 # - hatx " ''", hatp " ''" = hatp " ''", hatx " ''" = -i #, 가장 오른쪽 항은 #1/2#. 검사에 의해,

#hatH = ℏomega (하타 하타 ^ (†) - 1/2) #

그것은 다음과 같이 나타낼 수있다. # 하타, 하타 ^ (†) = 1 #, 그래서

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

그래서:

#color (녹색) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1 / 2)) #

여기서 우리는 에너지 되려고:

#E_n = ℏomega (n + 1 / 2) #

이 형식을 보면

#hatHphi_n = Ephi_n #,

우리는

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1 / 2) phi_n = ℏomega (n + 1 / 2) phi_n #

그래서 숫자 연산자 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

#hatN = 하타 ^ (†) 하타 #

그의 고유 값은 양자 수이다. #엔# 그 고유 상태 때문입니다.

금후,

#color (파란색) (psi_n = 하타 하타 ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatN) phi_n #

# = 색상 (파란색) ((1 + n) phi_n) #