1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - ... 무한대까지의 합은?

대답:

합계는 # = 2ln2-1 #

설명:

시리즈의 일반적인 용어는 다음과 같습니다. # = (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) #

우리는 부분 분율로 분해를 수행합니다.

# 1 / (n (n + 1)) = A / n + B / (n + 1) #

# = (A (n + 1) + Bn) / (n (n + 1)) #

그래서, # 1 = A (n + 1) + Bn #

언제 # n = 0 #, #=>#, # 1 = A #

언제 # n = -1 #, #=>#, # 1 = -B #

따라서, # 1 / (n (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1) #

^ (n + 1) / (n + 1) = (- 1) #

(n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) +1) / (n + 1) #

(1 + x) = sum_1 ^ (oo) (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ n #

# sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 #

(n + 1) - sum_0 ^ 1 (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) ^ (n) x ^ (n + 1) / (n + 1) #

(n + 1) / (n + 1) = 1-ln (1 + x) #

^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln2 #

(n-1) / (n-1)) = ln2- (l-ln2) = 2ln2-1 #