당신은 (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2를 어떻게 증명합니까?

대답:

몇 가지 정체성을 사용하고 단순화하십시오. 아래를 참조하십시오.

설명:

나는이 질문에 실수가 있다고 생각하지만 큰 문제는 아니다. 그것을 이해하기 위해서는 질문을 읽어야합니다.

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

어느 쪽이든 우리는이 표현으로 시작합니다.

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(삼각법을 증명할 때, 일반적으로 분수가있는 쪽에서 일하는 것이 가장 좋습니다.)

복합 곱셈 (conjugate multiplication)이라고하는 깔끔한 트릭을 사용합니다. 여기에서 분수에 분모의 곱셈을 곱합니다. 결합한:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

의 접합체 # a + b # ~이다. # a-b #, 그래서 # 1 + sinx # ~이다. # 1-sinx #; 우리는 # (1-sinx) / (1-sinx) # 분수의 균형을 맞 춥니 다.

유의 사항 # (1 + sinx) (1-sinx) # 실제로 제곱의 차이입니다. 속성은 다음과 같습니다.

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

여기에서 우리는 # a = 1 # 과 # b = sinx #, 그래서:

(1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

피타고라스의 정체성에서 # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, 다음과 같습니다 (빼기 # 죄악 ^ 2x # 양쪽에서) # cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

와우, 우리가 갔다. # (1-sinx) / (1-sinx) # 에 # 1-sin ^ 2x # 에 # cos ^ 2x #! 이제 우리의 문제는 다음과 같이 보입니다.

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

분자를 확장합시다.

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(생각해 내다: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

이제 우리는 분수를 분해 할 것입니다.

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

단순화하는 방법 그 ? 글쎄, 내가 기억할 때 기억해 "기억해: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

그것은 # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # 실제로는 # (secx-tanx) ^ 2 #. 우리가 # a = secx # 과 # b = tanx #, 우리는이 표현이 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다:

#bundbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

내가 방금 말했듯이 # (a-b) ^ 2 #. 바꾸다 #에이# 와 # secx # 과 #비# 와 # tanx # 그리고 당신은 얻습니다:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

그리고 우리는 그 조약을 완료했습니다:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #