대답:
(x2 + 2) + 47sqrt2tan-1 ((sqrt2x) / 2)) + C # (x1 + x2)
설명:
분모가 이미 인수 분해되었으므로, 우리가 부분 분수를 수행하기 위해 필요한 모든 것은 상수를 해결합니다.
(Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) (x-2) + D / (x-7) #
우리는 #엑스# 그리고 분자는 항상 분모보다 1도 더 낮기 때문에 가장 왼쪽 부분에 상수 항이 있습니다.
좌변 분모를 통해 증식 할 수는 있지만 엄청난 양의 일이 될 것입니다. 따라서 우리는 똑똑하고 대신 은폐 방법을 사용할 수 있습니다.
나는 그 과정을 상세하게 다루지 않을 것이지만 근본적으로 우리가하는 것은 분모가 0이되는 것을 발견하는 것입니다 (#기음# 그것은 # x = 3 #), 그리고 그것을 왼쪽 편에 연결하고 상수에 상응하는 요소를 덮으면서 이것을 평가하면 다음과 같습니다.
# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (텍스트 (////)) (3-7)) =
우리는 같은 것을 할 수있다. #디#:
# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (텍스트 (////))) = 35 / 51 #
은폐 방법은 선형 요인에 대해서만 작용하기 때문에 우리는 #에이# 과 #비# 전통적인 방법을 사용하고 왼쪽 분모를 통해 곱하기:
(x-7) -6/11 (x-2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) x-3) #
우리가 모든 괄호를 곱해서 여러 가지 계수의 모든 계수를 같게한다면 #엑스# 그리고 일정한 항을 통해 우리는 #에이# 과 #비#. 오히려 계산이 길기 때문에 관심이있는 사람을위한 링크를 남겨 두겠습니다.
여기를 클릭하십시오.
# A = -79 / 561 #
# B = -94 / 561 #
이것은 우리의 통합이 다음과 같이 주어진다.
#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #
처음 두 개는 분모의 다소 단순한 u- 대체를 사용하여 해결할 수 있습니다.
# 1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #
나머지 정수를 두 개로 나눌 수 있습니다.
(x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) 2 + 2) dx #
왼쪽의 Integral 1과 오른쪽의 Integral 2를 호출 할 것입니다.
정수 1
우리는이 적분을 u- 치환으로 풀 수 있습니다. # u = x ^ 2 + 2 #. 파생 상품은 # 2x #, 그래서 우리는 # 2x # 존중과 통합하다 #유#:
du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C (x) / (xcan) = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #
통합 2
우리는 이것을 다음과 같은 형태로 통합하고자합니다. # tan ^ -1 #:
(1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
우리가 # x = sqrt2u #우리는 우리의 통합을이 형태로 변형시킬 수있을 것입니다. 관련하여 통합하려면 #유#, 우리는 # sqrt2 # (우리는 파생 상품을 #유# 대신에 #엑스#):
(2 ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #
# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du =
# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #
원래의 적분 완료
Integral 1과 Integral 2가 같은 점을 알게되었으므로 원래의 적분을 완료하여 최종 답을 얻을 수 있습니다.
(x2 + 2) + 47sqrt2tan-1 ((sqrt2x) / 2)) + C # (x1 + x2)
