Int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx를 어떻게 통합할까요?

대답:

이 정수는 존재하지 않습니다.

설명:

이후 #ln x> 0 # 그 간격에 # 1, e #, 우리는

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

여기서, 적분은 다음과 같이된다.

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

대용품 #ln x = u #, 그 다음에 # dx / x = du # 그래서

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

적분 함수가 하한에서 벗어나기 때문에 이것은 부적절한 적분입니다. 이것은 다음과 같이 정의됩니다.

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

이것이 존재하면. 지금

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

이것이 한계에서 벗어나기 때문에 #l -> 0 ^ + #, 적분은 존재하지 않는다.

대답:

# 파이 / 2 #

설명:

적분 # int_1 ^ e ("d"x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

먼저 대체하십시오. # u = ln (x) # 과 # "d"u = ("d"x) / x #.

따라서 우리는

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d"u) / sqrt (1-u ^ 2) #

자, 대체 # u = sin (v) # 과 # "d"u = cos (v) "d"v #.

그때, v = int_ (x = 1) ^ (x = e) (x = 1)) "d"v # 이후 # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

계속해서, 우리는

(x = 1) = arcsin (ln (x)) (x = 1) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #