설명해주세요, 이것이 선형 변형인지 아닌지요?

대답:

아래 참조

설명:

교통 정보 #T: V 에서 W # 다음과 같은 두 가지 속성이있는 경우 선형이라고합니다.

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # 매회마다 # v_1, v_2 in V #
• #T (cv) = cT (v) # 매회마다 #v in V # 모든 스칼라 #기음#

두 번째 속성은 #V# 합계 및 스칼라 곱셈의 두 가지 연산이 포함됩니다. 이 경우 합은 다항식 간의 합계이며 곱셈은 실수로 곱 해집니다 (가정).

다항식을 유도하면 #1#, 그래서 당신이 도의 다항식을 유도한다면 #4# 두 번, 당신은 다항식을 얻을 것입니다. #2#. 우리가 모든 4 차 다항식의 집합을 말할 때, 우리는 실제로 모든 다항식의 집합을 의미합니다 많으면 네. 사실, 일반적인 차수 4 다항식은 다음과 같습니다.

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

학위 2 다항식을 원한다면 # 3 + 6x-5x ^ 2 #예를 들어

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

그것이 있다고 말하면서 도의 다항식 공간을 확인해 봅시다. #엔# 와 # P_n #, 연산자를 정의하십시오. #T: P_4 에서 P_2 #까지 그렇게 #T (f (x)) = f "(x) #

첫 번째 속성을 proove하자. 다항식이 있다고 가정하자.

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

과

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

이것은 # p_1 + p_2 # 같음

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4)

#T (p_1 + p_2) # 이 다항식의 2 차 도함수이므로

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(파생을위한 전력 규칙을 두 번 적용했습니다. # x ^ n # ~이다. #n (n-1) x ^ {n-2} #)

이제 계산해 보겠습니다. #T (p_1) #, 즉 # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

비슷하게, #T (p_2) #, 즉 # p_2 #,이다

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

이 표현식을 합하면, 우리가 가지고있는 것을 볼 수 있습니다.

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

두 번째 속성은 비슷한 방식으로 표시됩니다. 주어진 다항식

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

우리는 모든 실수에 대해 #기음#,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

따라서 2 차 미분은

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

이는 다시 컴퓨팅과 동일합니다. #T (p) #, 다음으로 모든 것을 곱하십시오. #기음#, 즉 #T (cp) = cT (p) #