F (x) = ln x, a = 2를 중심으로 삼차차 테일러 다항식을 어떻게 찾을 수 있습니까?

대답:

(x-2) ^ 2 + 1 / 24 (x-2) ^ 3 #.

설명:

테일러 확장의 일반적인 형태는 #에이# 분석 함수의 #에프# ~이다. (a) / (n!) (x-a) ^ n # (x) = sum_ {n = 0}. 이리 #f ^ ((n)) # n 번째의 파생물입니다. #에프#.

3 차 테일러 다항식은 다항식으로 처음 4 개 (#엔# 에 이르기까지 #0# 에 #3#) 전체 테일러 확장의 조건.

그러므로이 다항식은 (x-a) ^ 2 + (f '' '(a)) / 6 (x-a) ^ 3 # (a-a) + f'.

#f (x) = ln (x) #따라서 #f '(x) = 1 / x #, #f ''(x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. 따라서 3 차 테일러 다항식은 다음과 같습니다.

(x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

이제 우리는 # a = 2 #그래서 우리는 다항식을가집니다.

(x-2) ^ 2 + 1 / 24 (x-2) ^ 3 #.