A ^ 3 + b ^ 3 = 8이고 a ^ 2 + b ^ 2 = 4이면 (a + b)의 값은 무엇입니까?

대답:

합계에는 두 가지 값이 있습니다. # a + b = 2 # (에 대한 # a = 2 # 과 # b = 0 #) 또는 # a + b = -4 # (에 대한 # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

설명:

실제로 두 가지 미지수가 있습니다. #에이# 과 #비,# 그래서하자. #x = a + b # 과 #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

2 개의 미지수에있는 2 개의 방정식, # 2y = x ^ 2-4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

이것은 우울한 3 차 방정식이라고 불리며, 2 차 방정식과 같은 매우 쉬운 닫힌 형태의 해법을 가지고 있습니다. 그러나 그것을 만지기보다는, 작은 수를 시도하는 시간 존경받는 방법으로 뿌리를 추측합시다. 우리는보다 # x = 2 # 그렇게 일한다. # (x-2) # 요인입니다.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

이제 우리는 더 많은 요인을 고려할 수 있습니다.

(x + 2) (x + 4) = 0 (x-2) ^ 2 (x-2)

합계에는 두 가지 값이 있습니다. # a + b = 2 # 과 # a + b = -4. #

첫 번째 대답은 실제 솔루션에 해당합니다. # a = 2, b = 0 # 대칭으로 # a = 0, b = 2 #. 두 번째 대답은 한 쌍의 복소 공액 (complex conjugates)의 합에 해당합니다. 그들은 # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. 이 솔루션을 확인할 수 있습니까?

대답:

# (a + b) = 2 또는 a + b = -4 #

설명:

# ""a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (a + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

지금,

# ""a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (a + b) (4-ab) = 8 #

# => (a + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (a + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

방해,

# (a + b) = x #

그래서, # => x (6-x ^ 2 / 2) = 8 #

# => x (12-x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

관찰해라. #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # 요인입니다.

지금, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

# x. 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, 또는 x = -4 #.

#:. a + b = 2, 또는 a + b = -4 #.

그래프가 여기에 주어집니다.

의 가치 #color (적색) ((a + b) = 2, 또는 -4. #

희망이 도움이 …

고맙습니다…