(sec ^ 4x-1) / (sec ^ 4x + sec ^ 2x)를 어떻게 단순화합니까?

대답:

표현을 단순화하기 위해 피타고라스 식 정체성과 몇 가지 요인 분해 기법을 적용합니다. # 죄악 ^ 2x #.

설명:

피타고라스의 중요한 정체성을 떠올려보십시오. # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #. 우리는이 문제에 대해 그것을 필요로 할 것입니다.

분자부터 시작합시다.

# 초 ^ 4x-1 #

이것은 다음과 같이 다시 쓰일 수 있습니다:

# (sec ^ 2x) ^ 2- (1) ^ 2 #

이것은 제곱의 차이의 형태에 맞고, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #,와 함께 # a = sec ^ 2x # 과 # b = 1 #. 요인은 다음과 같습니다.

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

신분에서 # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #, 우리는 그것이 #1# 양쪽에서 우리에게 준다. # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. 따라서 우리는 # 초 ^ 2x-1 # 와 # tan ^ 2x #:

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) #

# -> (tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1) #

분모를 확인해 봅시다.

# 초 ^ 4x + 초 ^ 2x #

우리는 # 초 ^ 2x #:

# 초 ^ 4x + 초 ^ 2x #

# -> sec ^ 2x (sec ^ 2x + 1) #

우리가 할 수있는 일은 많지 않으므로 지금 가지고있는 것을 살펴 보겠습니다.

# ((tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) / ((sec ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) #

우리는 취소 할 수 있습니다:

# ((tan ^ 2x) cancel ((sec ^ 2x + 1)) / ((sec ^ 2x) cancel ((sec ^ 2x + 1)) #

# -> tan ^ 2x / sec ^ 2x #

이제 사인과 코사인 만 사용하여 이것을 다시 작성하고 다음과 같이 단순화합니다.

# tan ^ 2x / sec ^ 2x #

# -> (sin ^ 2x / cos ^ 2x) / (1 / cos ^ 2x) #

# -> sin ^ 2x / cos ^ 2x * cos ^ 2x #

# -> sin ^ 2x / cancel (cos ^ 2x) * cancel (cos ^ 2x) = sin ^ 2x #