삼각형 A의 면적은 4이며 두 변의 길이는 8과 4입니다. 삼각형 B는 삼각형 A와 유사하며 길이가 13 인 변을가집니다. 삼각형 B의 가능한 최대 및 최소 영역은 무엇입니까?

대답:

# "Max"= 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

# "최소"= 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #

설명:

삼각형의 꼭지점들을 보자. #에이# 라벨이 붙다 #피#, #큐#, #아르 자형#,와 함께 #PQ = 8 # 과 #QR = 4 #.

Heron의 공식을 사용하여,

# "Area"= sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)}}, 어디서

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # 반경이다.

우리는

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

그러므로,

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)}}

(12 + PQ) / 2-PQ)} = # sqrt {({12 + PQ} / 2)

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ-4) (4 + PQ) (12-PQ)} / 4 #

# = "지역"= 4 #

해결할 #기음#.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #

# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

사각형을 완성하십시오.

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # 또는 # PQ ^ 2 = 80-16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 # 또는

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #

이것은 주어진 조건을 만족하는 삼각형의 가능한 두 가지 종류가 있음을 보여줍니다.

삼각형 be에 대한 최대 면적의 경우, 길이 13의 변이 삼각형의 변 PQ와 유사하게하고 #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #.

따라서 선형 눈금 비율은

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~~ 3.061 #

따라서 면적은 선형 눈금 비율의 제곱 인 요인으로 확대됩니다. 따라서, 최대 면적 삼각형 B가 가질 수있는 것은

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

유사하게, 삼각형 be에 대한 최소 면적의 경우에, 길이 13을 갖는 측면이 삼각형에 대한 측면 PQ와 유사 할 것이 요구된다 #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 #.

따라서 선형 눈금 비율은

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~~ 1.091 #

따라서 면적은 선형 눈금 비율의 제곱 인 요인으로 확대됩니다. 따라서, 최소 면적 삼각형 B가 가질 수있는 것은

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #