입증 할 수있는 보라색 음영 영역은 정삼각형의 incircle 영역 (노란 줄무늬 원)과 동일합니까?

대답:

설명:

incircle의 영역은 다음과 같습니다. # pir ^ 2 #.

빗변으로 직각 삼각형에 주목하기 #아르 자형# 다리 #아르 자형# 삼각법 또는 삼각형의 특성을 통해 정삼각형의 밑에서 #30 -60 -90 # 직각 삼각형을 만들면 # R = 2r #.

반대쪽 각도 #아르 자형# ~이다. #30 # 정삼각형의 #60 # 각도가 2 등분되었다.

이 같은 삼각형은 피타고라스의 정리를 통해 정삼각형의 한 변의 절반 길이가 #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

이제 정삼각형의 절반을 직각 삼각형으로 살펴보면, # h # 의 정삼각형은 #아르 자형# 관계를 사용하여 #tan (60) = h / (rsqrt3) #. 이후 #tan (60) = sqrt3 #, 이것이된다. # h / (rsqrt3) = sqrt3 # 그래서 # h = 3r #.

등변 삼각형의 면적은 # 1 / 2bh #, 그 기본은 # 2rsqrt3 # 높이 # 3r #. 따라서, 그 영역은 # 1 / 2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

더 작은 음영 영역의 영역은 정삼각형의 영역에서 내접원을 뺀 영역의 1/3과 같습니다. # 1 / 3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # 이는 # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

더 큰 원의 면적은 # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

큰 음영 영역의 면적은 큰 원의 면적에서 정삼각형의 면적을 뺀 값의 1/3입니다. # 1 / 3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # 될 단순화 # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

음영 처리 된 영역의 전체 영역은 다음과 같습니다. (3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3πrt3-pi) / 3) + r2 (4π-3sqrt3)) / 3) = pir ^ 2 #이것은 incircle의 영역과 같습니다.

대답:

설명:

정삼각형의 경우 중심, 외접 중심 및 정사 방향 중심.

그래서 반원형의 반경 (R)과 반원형 반경 (r)은 다음과 같은 관계를 가질 것입니다

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

이제 그림에서 알 수 있듯이 큰 보라색 음영 영역의 영역# = 1 / 3 (piR ^ 2-Delta) #

과 작은 보라색 음영 영역의 영역# = 1 / 3 (델타 - 피어 ^ 2) #

어디에 #Delta # 정삼각형의 면적을 나타냅니다.

그래서

#color (보라색) ("큰 회색 및 작은 보라색 음영 영역의 전체 영역"#

# = 1 / 3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1 / 3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

삽입 R = 2r

# = 1 / 3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / 3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> color (오렌지색) "노란 줄무늬 원의 면적"#