원 A는 중심이 (3, 5)이고 면적이 78 pi입니다. 원 B는 (1, 2)에 중심점이 있고 54pi의 영역을 갖습니다. 원이 겹 칩니 까?

대답:

예

설명:

첫째, 우리는 두 센터 사이의 거리가 필요합니다. # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

(3 + 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

이제 반지름의 합이 필요합니다.

#D> (r_1 + r_2); "원은 겹치지 않습니다"#

# D = (r_1 + r_2); "원 터치 만"#

#D <(r_1 + r_2); "서클이 겹칩니다"#

# pir_1 ""^ 2 = 78pi #

# r_1 ""^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 ""^ 2 = 54pi #

# r_2 ""^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#그래서 원은 중첩됩니다.

증명:

그래프 {((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

대답:

이 중첩은 if #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}

우리는 계산기를 건너 뛰고 # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # 또는 #4(13)(54) > 11^2# 분명히 그렇습니다. 그래서 겹칩니다.

설명:

서클 영역은 물론입니다. #pi r ^ 2 # 그래서 우리는 무의미한 것을 나눕니다. # 파이 #에스.

반경을 제곱했습니다.

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

중심 간의 제곱 거리

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

기본적으로 우리는 if # r_1 + r_2 ge d #즉 두 반경에서 삼각형을 만들 수 있고 중심 사이의 선분을 만들 수 있습니다.

제곱 길이는 모두 좋은 정수이며, 우리 모두가 본능적으로 계산기 나 컴퓨터를 사용하고 제곱근을 잡아내는 것은 꽤 미친 짓입니다.

우리는 할 필요는 없지만 조금 우회해야합니다. 헤론의 공식을 사용하여 지역을 호출 해 봅시다. #큐#.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # 어디에 # s = (a + b + c) / 2 #

((a + b + c) / 2) = ((a + b + c) / 2) + b + c) / 2) -c) #

(a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c)

(a + b-c) # 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c)

이미 헤론보다 좋습니다. 그러나 우리는 계속합니다. 나는 약간 지루함을 건너 뛸 것이다.

(a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) # 16 ^ 2 ^ 2 = 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ ^ 2 -

그것은 우리가 지역 공식을 기대하는 것처럼 멋지게 대칭입니다. 대칭을 덜 바라 보도록합시다. 회상

# (c ^ 2- a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

첨가, # 16Q ^ 2 = 4 ^ 2 ^ b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

이것은 변의 제곱 길이가 주어지면 삼각형의 제곱 면적에 대한 공식입니다. 후자가 이성적 일 때, 전자가 합리적이다.

그것을 시도하자. 우리는 원하는대로 측면을 지정할 수 있습니다. 손으로 계산할 때 최선의 방법 #기음# 가장 큰면, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

(24) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

더 이상 계산하지 않더라도 긍정적 인 결과를 볼 수 있습니다. # 16Q ^ 2 # 그래서 긍정적 인 영역을 가진 진짜 삼각형, 그래서 겹치는 원.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

우리가 음의 값을 얻었 으면, 가상의 영역이 진짜 삼각형이 아니기 때문에 중복되지 않는 원들입니다.