원 A는 (6, 5)에 중심점이 있고 6pi의 영역을 갖습니다. 원 B는 (12, 7)에 중심을두고 48pi의 영역을 갖습니다. 원이 겹 칩니 까?

대답:

이후

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # 과

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

우리는 제곱 변의 48, 6, 40으로 실제 삼각형을 만들 수 있습니다. 그래서이 원들은 교차합니다.

설명:

왜 무상인가? # 파이 #?

지역은 # A = pi r ^ 2 # 그래서 # r ^ 2 = A / pi # 따라서 첫 번째 원에는 반경이 있습니다. # r_1 = sqrt {6} # 두 번째 # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

센터는 #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # 떨어져서.

따라서 원이 #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

너무 못 생겨서 계산기에 도달 한 것을 용서할 수 없습니다. 그러나 실제로는 필요하지 않습니다. 우회로를 타고 합법적 인 삼각법을 사용하여 어떻게 진행되는지 살펴 보겠습니다. 우리는 제곱 된 길이에만 관심이 있습니다. 사분면.

우리가 세 개의 사분면 #알파벳# 3 개의 동일 직선 상 포인트 사이의 사분면, 즉 #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # 또는 #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # 또는 #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. 우리는 다음과 같이 작성합니다.

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

광장, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A - B = 오후 2 sqrt {AB} #

다시 squaring, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

그것은 밝혀

# mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

~이다. 판별 자 삼각형을 위해. 우리는 방금 if #mathcal {A} = 0 # 그건 우리가 퇴보 삼각형, 3 개의 동일 선상의 점들로 이루어진다. 만약 #mathcal {A}> 0 # 그러면 우리는 진짜 삼각형, 각면은 다른 두면의 합보다 작습니다. 만약 #mathcal {A} <0 # 우리는 삼각형의 불평등을 만족시키는면을 가지고 있지 않습니다. 상상의 삼각형.

우리의 새로운 삼각형 판별로 무장 한 질문으로 돌아 갑시다. #mathcal {A} #. 원이 교차하면 우리는 두 개의 중심과 삼각형의 삼각형을 만들 수 있습니다. 그래서 변의 길이는 # r_1 #, # r_2 #, 그리고 센터 사이의 거리 #(6,5)# 과 #(12,7)#. 우리는 가지고있다.

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

(4 - 6 - 48) ^ 2 = 956 # (6) (48) - (40 -

#mathcal {A}> 0 # 그래서 우리는 진짜 삼각형, 즉 중첩하는 원을가집니다.

오, 그래, 모든 삼각형에 대한 #mathcal {A} = 16 (텍스트 {영역}) ^ 2. #

확인: 알파