어떻게 (i + 8) / (3i -1)을 삼각 형태로 나눕니까?

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

우선 우리는이 두 숫자를 삼각 형태로 변환해야합니다.

만약 # (a + ib) # 복소수이다. #유# 그것의 크기와 # 알파 # 그 각도는 # (a + ib) # 삼각법 형태는 다음과 같이 쓰여있다. #u (cosalpha + isinalpha) #.

복소수의 크기 # (a + ib) # 에 의해 주어진다#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # 그 각도는 다음과 같이 주어진다. # tan ^ -1 (b / a) #

방해 #아르 자형# 의 크기가된다. # (8 + i) # 과 # theta # 그 각도.

크기 # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

각도 # (8 + i) = Tan ^ -1 (1/8) = theta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

방해 #에스# 의 크기가된다. # (- 1 + 3i) # 과 # phi # 그 각도.

크기 # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

각도 # (-1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = φ #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

지금,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (코시 타 + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) / (1) #

# = r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

여기 우리는 모든 것을 가지고 있지만, 여기에서 직접적으로 가치를 대체한다면 그 단어는 찾기에 지저분 할 것입니다. #theta -phi # 그래서 먼저 알아 보겠습니다. # 세타 - 파이 #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

우리는 그것을 안다.

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)

# (1 / 8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (-3)) / (1+ (1/8) (- 3)))) #)

# tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (theta-phi) + isin (theta-phi)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5)))

# = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5)))

이것이 귀하의 최종 답변입니다.

다른 방법으로도 작업을 수행 할 수 있습니다.

첫째로 복소수를 나누고이를 삼각 함수로 바꾸는 것보다 훨씬 쉽습니다.

먼저 주어진 숫자를 단순화합시다.

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

분모에 존재하는 복소수의 공액으로 곱하고 나눕니다. # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = (8 + i) (- 1-3i)) / ((-1 + 3i) -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

= (- 5-25i) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = 10 / -5 = / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

방해 #티# 의 크기가된다. # (1 / 10- (5i) / 2) # 과 #베타# 그 각도.

크기 (sqrt (1 / 2 + 5 / 2)) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt 4) = sqrt (13/2) = t #

각도 (1 / 2- (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^ -1 (5) = beta #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1.